Chỉ cần hai mươi ba người trong một phòng, khả năng có ít nhất hai người trùng ngày sinh đã nhỉnh hơn một nửa, và với năm mươi người thì gần như chắc chắn. Lý do là thứ cần đếm không phải số người mà là số cặp người, và hai mươi ba người đã tạo ra tới hai trăm năm mươi ba cặp để so ngày sinh với nhau.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đây là bài toán xác suất mình hay dùng để mở đầu, vì hầu như ai đoán cũng đoán sai, và cái sai ấy dạy được rất nhiều. Nếu lớp bạn có khoảng ba mươi bạn, nghe xong tập này bạn có thể về đố cả lớp.
Trực giác đoán bao nhiêu người?
Hỏi một nhóm người cần bao nhiêu người để có một nửa khả năng hai người trùng ngày sinh, câu trả lời phổ biến nhất là khoảng một trăm tám mươi, tức là một nửa của ba trăm sáu mươi lăm ngày.
Con số đó nghe rất hợp lý, nhưng nó trả lời một câu hỏi khác: cần bao nhiêu người để chắc chắn có người trùng ngày với một người cụ thể. Ở đây không ai được chỉ định trước. Bất kỳ hai người nào trùng nhau cũng tính.
Đáp án thật là hai mươi ba. Với hai mươi ba người, khả năng có ít nhất một cặp trùng ngày sinh là khoảng năm mươi phần trăm và một chút. Với ba mươi người, khoảng bảy mươi phần trăm. Với năm mươi người, khoảng chín mươi bảy phần trăm.
Một lớp học sĩ số bốn mươi mà không có cặp nào trùng ngày sinh mới là chuyện hiếm.
Vì sao số cặp lại quan trọng?
Người thứ nhất không có ai để so. Người thứ hai so với một người. Người thứ ba so với hai người. Cứ thế, người thứ hai mươi ba so với hai mươi hai người.
Cộng lại, như cách Gauss cộng mà mình đã kể, số lần so sánh là hai mươi hai nhân hai mươi ba chia hai, bằng hai trăm năm mươi ba cặp. Mỗi cặp là một cơ hội để trùng.
Mỗi cặp riêng lẻ chỉ có khả năng trùng rất nhỏ, khoảng một phần ba trăm sáu mươi lăm. Nhưng hai trăm năm mươi ba cơ hội nhỏ cộng lại thì không còn nhỏ nữa.
Số người tăng đều, nhưng số cặp tăng gần như theo bình phương. Đó là gốc rễ của sự bất ngờ: đầu óc mình đếm người, còn xác suất thì đếm cặp.
Tính bằng phần bù cho dễ
Tính trực tiếp khả năng có ít nhất một cặp trùng thì rất rối, vì có thể trùng một cặp, hai cặp, ba người cùng ngày. Cách khéo là tính điều ngược lại: không có ai trùng ai, rồi lấy một trừ đi.
Người thứ nhất sinh ngày nào cũng được. Người thứ hai phải tránh ngày của người thứ nhất, khả năng ba trăm sáu mươi tư phần ba trăm sáu mươi lăm. Người thứ ba tránh hai ngày, khả năng ba trăm sáu mươi ba phần ba trăm sáu mươi lăm. Nhân hết các khả năng đó lại.
Mỗi thừa số đều gần một, nhưng nhân hai mươi hai thừa số như vậy, tích tụt xuống còn khoảng không phẩy bốn chín. Lấy một trừ đi, ra khoảng không phẩy năm một, tức hơn một nửa.
Tính phần bù là mẹo dùng rất nhiều trong xác suất. Khi đề hỏi ít nhất một, hãy nghĩ ngay tới chuyện tính khả năng không có cái nào rồi lấy một trừ đi.
Ngày sinh không đều thì sao?
Bài toán giả sử mọi ngày trong năm có khả năng như nhau. Thực tế thì không, có những tháng nhiều trẻ sinh hơn, và ở nhiều nơi số ca sinh vào ngày lễ ít hơn ngày thường.
Nhưng điều đó không cứu được trực giác. Khi ngày sinh phân bố không đều, khả năng trùng còn cao hơn, vì mọi người dồn vào một số ngày nhiều hơn.
Còn ngày hai mươi chín tháng hai thì quá hiếm, gần như không ảnh hưởng tới con số.
Vì vậy hai mươi ba là một con số an toàn để làm thí nghiệm. Thử ở lớp, ở cơ quan, ở nhóm họ hàng ngày Tết, phần lớn lần bạn sẽ thắng.
Nghịch lý ngày sinh trong đời thật
Ý tưởng này có ứng dụng nghiêm túc. Người làm bảo mật dùng nó để ước lượng xem một hệ thống mã hoá có dễ sinh ra hai dữ liệu khác nhau mà cùng một mã không. Kiểu tấn công lợi dụng điều này được gọi luôn là tấn công ngày sinh.
Nó cũng giải thích vì sao những chuyện trùng hợp hay xảy ra hơn mình tưởng. Gặp người quen ở một thành phố xa, hai người trong nhóm cùng tên mẹ, hai đồng nghiệp cùng số nhà. Mỗi chuyện riêng thì hiếm, nhưng số cặp để trùng thì nhiều vô kể.
Lần tới khi gặp một sự trùng hợp và thấy nó kỳ lạ, hãy tự hỏi: có bao nhiêu cách khác có thể trùng mà mình sẽ thấy kỳ lạ y như vậy. Thường thì rất nhiều.
Câu đố nhỏ: cần ít nhất bao nhiêu người để có hơn một nửa khả năng ít nhất hai người sinh cùng tháng, không cần cùng ngày. Hãy tính bằng phần bù như ở trên, với mười hai tháng.
Câu hỏi thường gặp
Bao nhiêu người thì chắc chắn có hai người trùng ngày sinh?
Để chắc chắn tuyệt đối thì cần ba trăm sáu mươi bảy người, theo nguyên lý Dirichlet, vì có tối đa ba trăm sáu mươi sáu ngày sinh khác nhau tính cả ngày hai mươi chín tháng hai. Nhưng chỉ khoảng bảy mươi người đã đủ để khả năng trùng vượt chín mươi chín phần trăm.
Vì sao gọi là nghịch lý?
Nó không phải mâu thuẫn logic, mà gọi là nghịch lý vì kết quả đi ngược hẳn với trực giác của hầu hết mọi người. Toán học không có gì sai, chỉ có cảm giác của mình sai.
Cần bao nhiêu người để có một nửa khả năng trùng ngày sinh với chính mình?
Cần khoảng hai trăm năm mươi ba người. Đây là câu hỏi khác hẳn, vì chỉ được so với một người cố định, nên mỗi người mới chỉ đem lại một cơ hội trùng chứ không phải nhiều cơ hội.
Học xác suất kiểu này ở lớp mấy?
Chương trình phổ thông hiện nay đưa xác suất vào từ cấp hai và học sâu hơn ở lớp mười, mười một. Nghịch lý ngày sinh là bài vận dụng rất hay sau khi học quy tắc nhân và biến cố đối.
Tấn công ngày sinh trong bảo mật là gì?
Đó là cách tìm hai dữ liệu khác nhau cho ra cùng một mã rút gọn, dựa trên việc số cặp tăng rất nhanh. Người thiết kế hệ thống phải chọn độ dài mã đủ lớn để kiểu tấn công này không khả thi.
