Bất biến là thứ không đổi dù mình làm bao nhiêu bước theo luật chơi. Khi tìm được nó, mình chứng minh được rằng có những kết cục không bao giờ xảy ra, dù thử cả nghìn cách. Bài kinh điển là bàn cờ vua bị cắt hai góc đối: không cách gì lát kín nó bằng các quân domino hai ô.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Có những bài toán mà mình loay hoay mãi không giải được, không phải vì mình kém, mà vì nó không có lời giải. Tập này kể về cách nhà toán học chứng minh một việc là không thể, chỉ bằng cách nhìn vào một con số không bao giờ đổi.
Bài bàn cờ cụt hai góc phát biểu ra sao?
Một bàn cờ vua có tám hàng, tám cột, tổng cộng sáu mươi tư ô. Mỗi quân domino phủ đúng hai ô cạnh nhau. Lát kín bàn cờ nguyên vẹn thì dễ, ba mươi hai quân là xong.
Giờ cắt bỏ hai ô ở hai góc đối nhau, chẳng hạn góc trên bên trái và góc dưới bên phải. Còn sáu mươi hai ô. Sáu mươi hai chia hai được ba mươi mốt, nên về số lượng, ba mươi mốt quân domino vừa khít. Câu hỏi là có lát kín được không.
Nếu bạn thử bằng tay, bạn sẽ thử rất nhiều cách và lần nào cũng kẹt lại hai ô lẻ loi không nằm cạnh nhau. Thử mãi không được chưa chứng minh được gì, có thể chỉ là mình chưa gặp cách đúng.
Lời giải đến từ một thứ có sẵn trên bàn cờ mà ít ai để ý tới khi lát: màu của các ô.
Màu ô cờ là bất biến quyết định tất cả
Trên bàn cờ, hai ô cạnh nhau luôn khác màu. Vậy mỗi quân domino, dù đặt dọc hay ngang, luôn phủ đúng một ô trắng và một ô đen. Đặt bao nhiêu quân cũng vậy, số ô trắng đã phủ luôn bằng số ô đen đã phủ.
Đó là bất biến của bài này: hiệu giữa số ô trắng và số ô đen bị phủ luôn bằng không. Bây giờ nhìn vào hai góc bị cắt. Hai góc đối của bàn cờ luôn cùng màu, nên cắt chúng đi là mất hai ô cùng một màu.
Bàn cờ còn lại có ba mươi ô một màu và ba mươi hai ô màu kia. Muốn lát kín thì phải phủ số ô trắng bằng số ô đen, mà ở đây hai số không bằng nhau. Vậy không thể lát kín, dù bạn thử bao nhiêu cách.
Cái đẹp của lời giải là nó không cần thử cách nào. Nó chỉ ra một thứ mà mọi cách lát đều phải giữ, và kết cục mình mong muốn lại vi phạm thứ đó.
Bẻ thanh sô cô la: đếm số lần bẻ mà không cần bẻ
Một bài khác cũng dùng bất biến. Bạn có thanh sô cô la chia sẵn thành bốn hàng, sáu cột, tức hai mươi bốn miếng nhỏ. Mỗi lần bẻ, bạn cầm một mảnh và bẻ nó dọc theo một đường rãnh thành hai mảnh. Hỏi ít nhất phải bẻ bao nhiêu lần để tách hết thành hai mươi bốn miếng.
Người ta hay nghĩ phải chọn cách bẻ khéo, bẻ đôi trước rồi chia nhỏ dần. Nhưng hãy để ý: mỗi lần bẻ, số mảnh tăng đúng thêm một. Lúc đầu có một mảnh, lúc cuối có hai mươi bốn mảnh.
Vậy dù bẻ kiểu gì, bạn cũng cần đúng hai mươi ba lần. Không ít hơn, không nhiều hơn. Thứ không đổi ở đây là hiệu giữa số mảnh và số lần đã bẻ, lúc nào cũng bằng một.
Bài này hay ra cho học sinh lớp sáu, và lần nào cũng có bạn cãi rằng cách bẻ của mình nhanh hơn. Đếm lại thì đúng hai mươi ba lần.
Làm sao tìm ra bất biến khi gặp một bài lạ?
Không có công thức chắc chắn, nhưng có vài chỗ nên nhìn trước. Thứ nhất là tính chẵn lẻ: mỗi bước làm tổng thay đổi một lượng chẵn hay lẻ. Rất nhiều bài thi học sinh giỏi gục ngã chỉ vì một câu hỏi chẵn lẻ.
Thứ hai là tô màu, như bài bàn cờ. Khi bài liên quan tới lưới ô vuông, hãy thử tô xen kẽ hai màu, hoặc tô theo ba màu lặp lại, rồi đếm xem mỗi bước phủ bao nhiêu ô mỗi màu.
Thứ ba là số dư khi chia cho một số nhỏ, như chia cho ba, cho bốn. Mỗi bước làm số dư thay đổi theo một quy luật cố định thì số dư có thể là bất biến.
Thứ tư là tổng hoặc tích của mọi thứ trên bàn. Có bài cho phép xoá hai số và viết lại tổng của chúng, khi đó tổng tất cả các số không đổi. Bất biến thường nằm trong chính luật chơi, chỉ cần đọc kỹ luật.
Bất biến dạy mình điều gì ngoài toán học?
Bài học sâu nhất của bất biến là: muốn biết một việc có làm được không, đôi khi đừng lao vào làm thử, mà hãy hỏi việc này giữ nguyên thứ gì. Nếu kết quả mình muốn phá vỡ thứ đó, thì đừng phí sức.
Kỹ sư dùng ý này khi kiểm tra hệ thống: có những con số phải luôn cân, như tiền vào trừ tiền ra phải bằng số dư. Một sổ sách mà con số đó lệch là chắc chắn có lỗi ở đâu đó.
Người học toán gặp bất biến lần đầu thường có cảm giác như xem ảo thuật: bài đang rối như tơ vò bỗng sáng ra chỉ với một câu. Cảm giác đó là phần thưởng lớn của môn toán.
Câu đố nhỏ cho bạn: trên bảng viết các số từ một đến mười. Mỗi lượt xoá hai số bất kỳ và viết hiệu của chúng. Cuối cùng còn một số. Số đó có thể là số không được không?
Câu hỏi thường gặp
Bất biến khác đơn biến thế nào?
Bất biến là đại lượng không đổi qua mọi bước. Đơn biến là đại lượng chỉ thay đổi theo một chiều, luôn tăng hoặc luôn giảm. Đơn biến thường dùng để chứng minh một quá trình chắc chắn phải dừng lại.
Bàn cờ bị cắt hai ô khác màu thì có lát kín được không?
Được. Có một kết quả nổi tiếng chứng minh rằng nếu cắt bỏ bất kỳ hai ô khác màu nào trên bàn cờ tám nhân tám, phần còn lại luôn lát kín được bằng domino. Vậy màu ô vừa là lý do không làm được, vừa là điều kiện để làm được.
Bài toán bất biến hay gặp ở lớp mấy?
Những bài đơn giản về chẵn lẻ và tô màu thường xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi từ lớp sáu, lớp bảy. Ở các kỳ thi cao hơn, bất biến được dùng kết hợp với số dư và các phép biến đổi phức tạp hơn.
Làm sao biết bài toán nên dùng bất biến?
Dấu hiệu thường gặp là đề bài cho một luật biến đổi lặp đi lặp lại và hỏi có thể đạt tới một trạng thái nào đó hay không. Câu hỏi có thể hay không thể là lời mời tìm bất biến.
Quân cờ hình chữ L ba ô có lát được bàn cờ không?
Bàn cờ tám nhân tám có sáu mươi tư ô, không chia hết cho ba, nên không thể lát kín bằng các miếng ba ô. Nếu khoét đi một ô thì còn sáu mươi ba ô, chia hết cho ba, và khi đó có cách lát với mọi vị trí ô bị khoét.
