Ba bài toán dựng hình nổi tiếng của người Hy Lạp cổ, gồm chia một góc bất kỳ thành ba phần bằng nhau, dựng khối lập phương có thể tích gấp đôi khối cho trước, và dựng hình vuông có diện tích bằng hình tròn, đều không thể làm được nếu chỉ dùng thước thẳng không vạch chia và compa. Người ta không chỉ chưa tìm ra cách, mà đã chứng minh chắc chắn là không có cách nào.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hơn hai nghìn năm, những người giỏi nhất đã thử ba bài này và thất bại. Câu trả lời cuối cùng lại đến từ một hướng không ai ngờ: đại số. Tập này mình kể vì sao.
Luật chơi: chỉ có thước thẳng và compa
Người Hy Lạp đặt ra một luật chơi rất khắt khe cho hình học. Bạn chỉ được dùng một cây thước thẳng không có vạch chia, để kẻ đường thẳng qua hai điểm, và một cái compa, để vẽ đường tròn khi biết tâm và một điểm trên đường tròn.
Không được đo độ dài, không được đánh dấu lên thước, không được ước lượng bằng mắt. Mọi điểm mới phải là giao điểm của những đường đã vẽ. Trong luật đó, bạn vẫn làm được rất nhiều: chia đôi đoạn thẳng, chia đôi góc, dựng tam giác đều, dựng hình lục giác đều.
Vì làm được nhiều thứ như vậy, người ta tin chắc rằng chỉ cần đủ khéo thì ba bài kia cũng sẽ ra. Chia đôi góc dễ đến thế, sao chia ba lại khó.
Học sinh lớp bảy học dựng tia phân giác bằng compa chính là đang chơi đúng luật chơi hai nghìn năm tuổi này.
Ba bài toán cụ thể là gì?
Bài thứ nhất, chia ba một góc: cho một góc bất kỳ, hãy dựng hai tia chia nó thành ba góc bằng nhau. Với một số góc riêng như góc vuông thì làm được, nhưng bài toán đòi một cách dùng được cho mọi góc.
Bài thứ hai, gấp đôi khối lập phương: cho cạnh của một khối lập phương, hãy dựng cạnh của khối lập phương có thể tích gấp đôi. Có một giai thoại kể rằng người dân đảo Delos được lời sấm truyền bảo phải làm bàn thờ gấp đôi để hết dịch bệnh. Đó là giai thoại, nhưng nó làm bài này được gọi là bài toán Delos.
Bài thứ ba, cầu phương hình tròn: cho một hình tròn, hãy dựng hình vuông có diện tích bằng đúng diện tích hình tròn đó.
Cả ba bài đều có cách giải gần đúng rất tốt, và đều có cách giải đúng nếu được phép dùng công cụ khác. Cái khó chỉ nằm ở luật chơi khắt khe.
Vì sao đại số lại trả lời được bài toán hình học?
Bước ngoặt đến khi người ta dịch hình học sang ngôn ngữ con số. Mỗi lần dùng thước và compa, mình chỉ tạo ra được những độ dài tính được bằng cộng, trừ, nhân, chia và lấy căn bậc hai từ những độ dài đã có.
Lý do là giao của hai đường thẳng cho phương trình bậc nhất, còn giao có đường tròn thì cho phương trình bậc hai, mà phương trình bậc hai giải bằng căn bậc hai. Không có bước nào tạo ra được căn bậc ba.
Gấp đôi khối lập phương có cạnh một thì cần dựng độ dài bằng căn bậc ba của hai. Năm một nghìn tám trăm ba mươi bảy, nhà toán học Pháp Pierre Wantzel chứng minh rằng độ dài này không thể có được từ một chuỗi căn bậc hai. Cùng lập luận ấy cho thấy góc sáu mươi độ không chia ba được, nên không có cách chung cho mọi góc.
Thế là hai bài đầu được khép lại, không phải bằng một hình vẽ tài tình, mà bằng một lý lẽ về loại số nào dựng được.
Cầu phương hình tròn và bản chất của số pi
Bài thứ ba khó hơn. Hình tròn bán kính một có diện tích bằng pi, nên hình vuông cần dựng có cạnh bằng căn bậc hai của pi. Câu hỏi quy về: có dựng được độ dài pi không.
Năm một nghìn tám trăm tám mươi hai, nhà toán học Đức Ferdinand von Lindemann chứng minh pi là số siêu việt, tức là không phải nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số nguyên. Mà mọi độ dài dựng được bằng thước và compa đều là nghiệm của những phương trình như vậy.
Vậy pi không dựng được, căn bậc hai của pi cũng không, và cầu phương hình tròn là không thể. Thành ngữ cầu phương hình tròn trong tiếng Anh vì thế dùng để chỉ một việc vô vọng.
Từ đó tới nay vẫn có người gửi thư tới các khoa toán, khẳng định đã chia ba được góc hoặc cầu phương được hình tròn. Lần nào kiểm cũng thấy có một bước dựng sai luật hoặc chỉ gần đúng.
Nếu đổi luật chơi thì sao?
Chỉ cần nới luật một chút, ba bài toán đổi hẳn. Archimedes đã biết cách chia ba góc nếu được phép đánh hai dấu lên cây thước rồi trượt nó cho khớp. Trò gấp giấy cũng chia ba được góc và gấp đôi được khối lập phương, vì một nếp gấp có thể giải phương trình bậc ba.
Điều này cho thấy một bài học lớn: câu hỏi làm được hay không luôn phải đi kèm với câu hỏi dùng công cụ gì. Một việc không thể với công cụ này có thể dễ dàng với công cụ khác.
Ba bài toán cổ cũng dạy rằng một câu trả lời không thể vẫn là một câu trả lời trọn vẹn. Nó giải phóng người ta khỏi việc phí đời đi tìm thứ không có.
Câu đố nhỏ cho bạn: chỉ bằng thước và compa, bạn có dựng được góc mười lăm độ không. Gợi ý, hãy bắt đầu từ tam giác đều.
Câu hỏi thường gặp
Chia ba góc vuông có được không?
Được. Góc vuông chia ba thành ba góc ba mươi độ, mà góc ba mươi độ dựng được dễ dàng từ tam giác đều. Bài toán cổ không giải được là vì nó đòi một cách chung cho mọi góc.
Số siêu việt là gì?
Số siêu việt là số không phải nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào có hệ số nguyên. Pi và số e là hai ví dụ nổi tiếng. Căn bậc hai của hai thì không siêu việt, vì nó là nghiệm của phương trình bình phương bằng hai.
Có thể vẽ gần đúng hình vuông có diện tích bằng hình tròn không?
Có, và có thể gần đúng tới mức mắt thường không phân biệt được. Nhưng gần đúng bao nhiêu cũng không phải là đúng, và bài toán cổ đòi đúng tuyệt đối.
Đa giác đều nào dựng được bằng thước và compa?
Gauss khi còn rất trẻ đã chứng minh dựng được đa giác đều mười bảy cạnh, và đưa ra điều kiện cho số cạnh dựng được. Đa giác đều bảy cạnh hay chín cạnh thì không dựng được.
Vì sao học sinh vẫn học dựng hình nếu nó có giới hạn?
Vì dựng hình rèn cách suy nghĩ từng bước có lý do, mỗi điểm mới phải giải thích được từ đâu ra. Đó là bài tập tư duy chặt chẽ rất tốt, chứ không phải để vẽ cho nhanh.
