Ba mươi sáu con vừa gà vừa chó, tổng cộng một trăm chân, thì có hai mươi hai con gà và mười bốn con chó. Còn bài trăm trâu trăm bó cỏ có tới ba đáp án nếu trâu đứng, trâu nằm, trâu già đều phải có mặt. Cả hai bài đều giải được bằng một lập luận giả sử rất gọn, học sinh lớp năm làm được mà không cần phương trình.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hồi nhỏ chắc nhiều người được ông bà đọc cho mấy câu vè có con số này. Tập này mình giải lại cho đàng hoàng, kể thêm chỗ thú vị mà ít người để ý: bài toán trâu không có một đáp án duy nhất.
Bài vừa gà vừa chó và cách giả sử tất cả là gà
Bài vè quen thuộc: vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó.
Cách giải thầy cô tiểu học hay dạy gọi là giả thiết tạm. Giả sử cả ba mươi sáu con đều là gà. Khi đó có ba mươi sáu nhân hai, bằng bảy mươi hai chân. So với thực tế, mình thiếu một trăm trừ bảy mươi hai, bằng hai mươi tám chân.
Mỗi lần đổi một con gà thành một con chó, số chân tăng thêm hai. Muốn bù hai mươi tám chân thì phải đổi hai mươi tám chia hai, bằng mười bốn con. Vậy có mười bốn con chó, còn lại hai mươi hai con gà.
Kiểm lại: hai mươi hai con gà có bốn mươi bốn chân, mười bốn con chó có năm mươi sáu chân, cộng lại đúng một trăm. Lời giải không cần một ẩn số nào, chỉ cần dám giả sử rồi sửa.
Một cách giải dân gian vui hơn: bảo mỗi con co chân
Có một cách kể khác rất hợp với trẻ con. Ra lệnh cho cả đàn: mỗi con co lên hai chân. Gà co hai chân thì ngồi bệt xuống đất, không còn chân nào chạm đất. Chó co hai chân thì còn đứng hai chân.
Số chân co lên là ba mươi sáu nhân hai, bằng bảy mươi hai. Số chân còn chạm đất là một trăm trừ bảy mươi hai, bằng hai mươi tám, và đó toàn là chân chó, mỗi con hai chân. Vậy có mười bốn con chó.
Hai cách thật ra là một lập luận, chỉ khác cách kể. Nhưng hình ảnh con gà ngồi bệt làm trẻ nhớ mãi, và quan trọng hơn, giúp các em hiểu vì sao lại chia cho hai.
Bài gà chó có họ hàng xa trong sách toán cổ Trung Hoa, ở đó là gà và thỏ với những con số khác. Người Việt đặt lại thành vè bốn chữ cho dễ thuộc, và nó đi vào sách giáo khoa nhiều thế hệ.
Giải bằng đại số và bài học khi lên lớp sáu
Lên cấp hai, các em học cách gọi số gà là x, số chó là y. Có hai điều kiện: x cộng y bằng ba mươi sáu, và hai x cộng bốn y bằng một trăm. Hai phương trình, hai ẩn, giải ra đúng hai mươi hai và mười bốn.
Nhiều phụ huynh hỏi cách nào đúng hơn. Cả hai đều đúng. Cách giả sử rèn trực giác về số, cách đại số rèn kỹ năng tổng quát. Một bạn hiểu sâu cách giả sử sẽ thấy cách đại số chỉ là viết gọn lại cùng một ý.
Sai lầm hay gặp ở học sinh lớp năm là nhớ máy móc công thức lấy hiệu chia hai, rồi áp sai khi đề đổi con vật. Gặp bài gà và bò, hay vịt và thỏ, các em phải tự hỏi lại mỗi lần đổi một con thì số chân tăng bao nhiêu.
Nếu một em giải được bài bằng cả hai cách và giải thích được vì sao hai cách giống nhau, đó là dấu hiệu em thật sự hiểu chứ không chỉ thuộc bài.
Trăm trâu trăm cỏ có mấy đáp án?
Bài vè thứ hai: trăm trâu trăm cỏ, trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, ba con một bó. Có một trăm con trâu, một trăm bó cỏ, trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằm mỗi con ba bó, ba con trâu già chung một bó. Hỏi mỗi loại bao nhiêu con.
Ở đây có ba ẩn nhưng chỉ có hai điều kiện, một về số trâu, một về số cỏ. Biến đổi một chút, mình được một điều kiện gọn: bảy lần số trâu đứng cộng bốn lần số trâu nằm bằng một trăm. Muốn số trâu nằm là số nguyên, số trâu đứng phải chia hết cho bốn.
Thử số trâu đứng bằng bốn, trâu nằm ra mười tám, trâu già bảy mươi tám. Trâu đứng bằng tám, trâu nằm mười một, trâu già tám mươi mốt. Trâu đứng bằng mười hai, trâu nằm bốn, trâu già tám mươi tư. Trâu đứng bằng mười sáu thì số trâu nằm thành âm, phải dừng.
Vậy có ba đáp án. Nếu cho phép không có trâu đứng nào thì còn đáp án thứ tư là hai mươi lăm trâu nằm và bảy mươi lăm trâu già, nhưng như vậy thì bài vè nhắc tới trâu đứng làm gì.
Vì sao bài có nhiều đáp án lại quý?
Hầu hết bài toán ở trường có một đáp án. Bài trăm trâu dạy học sinh rằng có những bài mà câu trả lời đúng là một danh sách, và nhiệm vụ là tìm đủ, không bỏ sót, không thừa.
Toán học gọi loại này là phương trình nghiệm nguyên, nghĩa là chỉ nhận nghiệm là số nguyên. Nó là một chủ đề lớn trong thi học sinh giỏi, và bài trăm trâu là cửa vào hiền lành nhất.
Kiểm lại một đáp án cho chắc. Tám trâu đứng ăn bốn mươi bó, mười một trâu nằm ăn ba mươi ba bó, tám mươi mốt trâu già ăn hai mươi bảy bó. Cộng lại một trăm bó, và tám cộng mười một cộng tám mươi mốt bằng một trăm con.
Câu đố cho bạn: một trăm đồng mua một trăm con chim, chim trống năm đồng một con, chim mái ba đồng một con, ba chim con một đồng. Hỏi có những cách mua nào. Bài này có họ hàng rất gần với bài trâu đấy.
Câu hỏi thường gặp
Bài vừa gà vừa chó học ở lớp mấy?
Bài này thường xuất hiện ở lớp bốn, lớp năm trong dạng toán giả thiết tạm, và quay lại ở lớp tám khi học hệ phương trình. Nó là ví dụ đẹp để thấy một bài toán có thể giải theo nhiều trình độ khác nhau.
Phương pháp giả thiết tạm là gì?
Đó là cách tạm coi tất cả đối tượng thuộc cùng một loại, tính ra kết quả sai lệch so với thực tế, rồi xem mỗi lần đổi một đối tượng sang loại kia thì sai lệch giảm bao nhiêu. Chia sai lệch cho mức giảm đó là ra số đối tượng loại kia.
Nguồn gốc bài trăm trâu trăm cỏ ở đâu?
Bài này lưu truyền trong dân gian Việt Nam dưới dạng vè, không rõ tác giả. Các sách toán cổ ở nhiều nước Á Đông có những bài trăm con vật trăm đồng tiền cùng cấu trúc, nên nhiều khả năng ý tưởng được trao đổi qua lại.
Vì sao bài trâu cần điều kiện số trâu già chia hết cho ba?
Vì ba con trâu già ăn chung một bó, nên số trâu già phải chia hết cho ba thì số bó cỏ của chúng mới là số nguyên. Cả ba đáp án bảy mươi tám, tám mươi mốt, tám mươi tư đều chia hết cho ba.
Dạy con bài toán cổ có lợi gì so với bài trong sách?
Bài toán có vần dễ nhớ, có hình ảnh đời thường, nên trẻ hứng thú hơn và nhớ cả cách giải lâu hơn. Nó cũng là cầu nối giữa ông bà và cháu, vì người lớn tuổi thường thuộc những bài này.
