Giá trị kỳ vọng là số tiền trung bình bạn được hoặc mất mỗi lần chơi, nếu bạn chơi cùng một trò rất nhiều lần. Mọi trò chơi do nhà cái thiết kế đều có giá trị kỳ vọng âm với người chơi, nghĩa là một người có thể thắng vài ván, nhưng chơi càng lâu thì càng chắc chắn thua, còn nhà cái thì cứ đều đặn thu tiền.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Mình nhắc lại tinh thần của chuyên mục: xác suất ở đây là để hiểu, không phải để chơi. Tập này mình tính một trò chơi giả định cho thật rõ, rồi đem cùng phép tính đó đi soi bảo hiểm và cả chuyện đoán bừa khi làm bài trắc nghiệm.
Một trò xúc xắc giả định
Giả sử có người mời bạn chơi thế này: bạn trả mười nghìn đồng để gieo một con xúc xắc. Nếu ra mặt sáu, bạn nhận năm mươi nghìn. Ra mặt khác thì mất mười nghìn đã trả.
Năm mươi nghìn so với mười nghìn, nghe hời. Nhưng hãy tính trung bình. Gieo sáu lần, theo lý thuyết bạn trúng một lần. Bạn trả sáu mươi nghìn, nhận về năm mươi nghìn. Trung bình mỗi ván mất khoảng một nghìn bảy trăm đồng.
Con số âm một nghìn bảy trăm đồng mỗi ván chính là giá trị kỳ vọng. Nó không cho biết ván tới bạn thắng hay thua, mà cho biết chơi nhiều thì tiền đi về đâu.
Cách tính chung: nhân mỗi kết quả với khả năng của nó, rồi cộng lại. Ở đây, nhận năm mươi nghìn với khả năng một phần sáu, trừ đi mười nghìn tiền vé, ra một số âm.
Vì sao nhà cái thắng mà không cần may mắn?
Nhà cái không cần đoán đúng từng ván. Họ chỉ cần thiết kế để tiền trả thưởng, tính trung bình, luôn nhỏ hơn tiền thu vào một chút. Phần chênh nhỏ đó gọi là lợi thế nhà cái.
Ví dụ, ở vòng quay may mắn kiểu châu Âu có ba mươi bảy ô số. Đặt cược vào một số, nếu trúng được trả ba mươi lăm lần tiền cược. Nếu công bằng, phải trả ba mươi sáu lần. Chênh một phần nhỏ đó, tính ra nhà cái giữ lại khoảng một phần ba mươi bảy mỗi lượt cược.
Với một người chơi vài ván, may rủi lấn át phần chênh nhỏ, nên vẫn có người thắng và kể chuyện thắng. Nhưng nhà cái nhận hàng triệu lượt cược. Theo luật số lớn, kết quả trung bình của họ bám rất sát giá trị kỳ vọng, và giá trị đó là dương với họ.
Đó là lý do người ta nói nhà cái không đánh bạc, họ làm toán. Các trò xổ số cũng vậy, phần trả thưởng được định sẵn nhỏ hơn tổng tiền bán vé.
Hệ thống gấp đôi tiền cược có phá được kỳ vọng không?
Có một chiến thuật nghe rất thông minh: thua thì ván sau gấp đôi tiền cược, thắng một lần là gỡ hết và lời một chút. Nhiều người tin đây là cách chắc thắng.
Vấn đề là chuỗi thua dài, như mình đã thấy ở tập ngụy biện con bạc, xảy ra thường hơn mình tưởng. Thua mười ván liền, tiền cược ván thứ mười một đã gấp hơn một nghìn lần ván đầu.
Người chơi thì có giới hạn tiền, nhà cái thì có giới hạn mức cược. Sớm muộn một chuỗi thua đủ dài sẽ chạm giới hạn, và một lần chạm là mất sạch những khoản lời nhỏ tích cóp trước đó.
Không có cách sắp xếp tiền cược nào biến một trò kỳ vọng âm thành kỳ vọng dương. Đổi cách cược chỉ đổi hình dạng của rủi ro, không đổi hướng đi của trung bình.
Bảo hiểm cũng kỳ vọng âm, vậy có nên mua?
Đây là chỗ thú vị. Công ty bảo hiểm cũng thu phí nhiều hơn số tiền họ trả ra tính trung bình, nếu không thì họ không tồn tại. Vậy với người mua, bảo hiểm có giá trị kỳ vọng âm, giống một trò chơi.
Nhưng giá trị kỳ vọng không phải tất cả. Mất mười nghìn đồng và mất cả căn nhà là hai nỗi đau không cùng tỉ lệ. Bảo hiểm cho bạn trả một khoản nhỏ chắc chắn để tránh một tổn thất lớn hiếm khi xảy ra nhưng nếu xảy ra thì không gượng dậy được.
Trò chơi may rủi thì ngược lại: bạn chấp nhận mất một khoản nhỏ chắc chắn để có cơ hội rất nhỏ được một khoản lớn mà thiếu nó bạn vẫn sống bình thường.
Cùng một con số âm, nhưng một bên giảm rủi ro cho cuộc sống, một bên tăng rủi ro. Đó là lý do người hiểu toán vẫn mua bảo hiểm phù hợp mà không chơi cá cược. Chọn loại bảo hiểm nào thì nên hỏi người tư vấn độc lập, tập này không bàn.
Đoán bừa câu trắc nghiệm: kỳ vọng có lợi cho bạn
Giờ một ứng dụng vui hơn cho học sinh. Một câu trắc nghiệm có bốn lựa chọn, đúng được một điểm, sai không bị trừ. Bạn không biết đáp án. Đoán bừa có giá trị kỳ vọng là một phần tư điểm, còn bỏ trống thì chắc chắn không điểm.
Vậy nếu đề không trừ điểm câu sai, đừng bao giờ bỏ trống. Còn nếu loại được một phương án chắc chắn sai, khả năng đúng tăng lên một phần ba, càng nên đoán.
Nếu đề có trừ điểm câu sai, phải tính lại. Ví dụ sai bị trừ một phần ba điểm, thì đoán bừa giữa bốn lựa chọn có kỳ vọng bằng không, còn loại được một phương án thì kỳ vọng dương.
Câu đố nhỏ: một trò chơi trả cho bạn số tiền bằng số chấm trên mặt xúc xắc, tính bằng nghìn đồng. Phí chơi bao nhiêu thì trò chơi là công bằng, tức giá trị kỳ vọng bằng không.
Câu hỏi thường gặp
Giá trị kỳ vọng có cho biết lần tới thắng hay thua không?
Không. Nó chỉ cho biết kết quả trung bình nếu lặp lại rất nhiều lần. Một lần chơi riêng lẻ vẫn có thể thắng, nhưng chơi càng nhiều thì kết quả tổng càng bám sát giá trị kỳ vọng.
Lợi thế nhà cái là gì?
Đó là phần chênh lệch được thiết kế sẵn giữa tiền trả thưởng và tiền thu vào, tính trung bình trên mỗi lượt chơi. Phần này thường nhỏ, nhưng nhân với rất nhiều lượt chơi thì thành lợi nhuận ổn định cho nhà cái.
Có trò chơi may rủi nào kỳ vọng dương cho người chơi không?
Với các trò do nhà cái tổ chức thì gần như không, vì họ thiết kế để có lợi. Đôi khi có khuyến mãi tạm thời làm thay đổi con số, nhưng nhà cái luôn đặt giới hạn để tổng thể vẫn có lợi cho họ.
Học giá trị kỳ vọng ở lớp mấy?
Khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên thường được học ở lớp mười hai hoặc ở đại học. Nhưng ý tưởng tính trung bình được mất qua nhiều lần chơi có thể giải thích cho học sinh cấp hai bằng ví dụ xúc xắc.
Vì sao người ta vẫn chơi dù biết kỳ vọng âm?
Vì niềm vui, hy vọng, và vì bộ não người đánh giá quá cao những khả năng rất nhỏ khi phần thưởng rất lớn. Hiểu giá trị kỳ vọng giúp mình nhìn rõ đó là chi tiêu cho cảm xúc, không phải cách kiếm tiền.
