Trong bài toán Monty Hall, nếu người dẫn chương trình biết giải thưởng nằm sau cửa nào và luôn mở một cửa trống trong hai cửa bạn không chọn, thì đổi sang cửa còn lại giúp bạn thắng hai phần ba số lần, còn giữ nguyên chỉ thắng một phần ba. Lý do nằm ở chỗ lựa chọn đầu tiên của bạn chỉ đúng một phần ba số lần, và việc mở cửa không làm thay đổi điều đó.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đây có lẽ là bài toán xác suất gây cãi nhau nhiều nhất từng có, kể cả giữa những người làm toán chuyên nghiệp. Tập này mình giải nó theo ba cách, và chỉ ra một điều kiện nhỏ mà thiếu nó thì đáp án đổi hẳn.
Đề bài và câu trả lời mà ai cũng chọn
Bạn đứng trước ba cánh cửa. Sau một cửa là chiếc xe máy, sau hai cửa còn lại là phần quà an ủi chẳng đáng gì. Bạn chọn một cửa, chưa mở. Người dẫn chương trình, vốn biết xe ở đâu, mở một trong hai cửa còn lại, cho thấy sau đó trống. Rồi anh hỏi: bạn có muốn đổi sang cửa còn đóng kia không.
Gần như ai cũng nghĩ: còn hai cửa, xe ở một trong hai, vậy mỗi cửa một nửa, đổi hay không cũng như nhau. Nhiều người còn chọn giữ nguyên vì sợ đổi rồi mất thì tiếc hơn.
Tên bài toán lấy từ một người dẫn chương trình truyền hình Mỹ. Nó nổi tiếng khắp thế giới từ khoảng năm một nghìn chín trăm chín mươi, khi một chuyên mục báo đăng lời giải đổi cửa thắng hai phần ba, và nhận về hàng nghìn lá thư phản đối, có cả thư của những người có học vị tiến sĩ.
Người viết chuyên mục ấy đúng. Và ngay cả một số nhà toán học lừng danh cũng chỉ chịu tin sau khi xem kết quả mô phỏng bằng máy tính.
Cách thứ nhất: nhìn vào lựa chọn ban đầu
Lúc bạn chọn cửa đầu tiên, khả năng chọn trúng xe là một phần ba. Khả năng xe nằm ở một trong hai cửa kia là hai phần ba.
Người dẫn mở một cửa trống trong hai cửa kia. Anh không mở ngẫu nhiên, anh biết và cố ý tránh cửa có xe. Việc mở này không cho bạn biết gì mới về cửa của bạn, vì dù bạn chọn đúng hay sai, anh luôn mở được một cửa trống.
Vậy cửa của bạn vẫn chỉ đúng một phần ba. Phần hai phần ba còn lại, trước kia chia cho hai cửa, giờ dồn hết vào cửa duy nhất còn đóng.
Nói gọn: giữ nguyên là cá rằng lần đầu mình đoán đúng, đổi là cá rằng lần đầu mình đoán sai. Mà đoán sai thì dễ gấp đôi đoán đúng.
Cách thứ hai: tưởng tượng một trăm cánh cửa
Nếu vẫn chưa thấy thuyết phục, thử phóng to bài toán. Có một trăm cánh cửa, một cửa có xe. Bạn chọn một cửa. Người dẫn, vốn biết hết, mở chín mươi tám cửa trống, chỉ chừa lại cửa của bạn và một cửa khác.
Bây giờ bạn có tin cửa mình chọn bừa lúc đầu có cùng khả năng với cái cửa duy nhất mà người dẫn cẩn thận chừa lại không. Hầu hết mọi người lúc này đều muốn đổi.
Cửa của bạn có khả năng một phần trăm. Cửa kia gánh toàn bộ chín mươi chín phần trăm còn lại, vì người dẫn đã phải tránh nó trong khi mở chín mươi tám cửa.
Bài ba cửa có cùng cấu trúc, chỉ là con số nhỏ hơn nên trực giác khó thấy. Phóng to bài toán là một mẹo hay khi trực giác bị kẹt.
Điều kiện quan trọng mà nhiều người bỏ qua
Đáp án hai phần ba chỉ đúng khi người dẫn biết xe ở đâu, luôn luôn mở một cửa trống, và luôn luôn mời bạn đổi. Thiếu một điều kiện là bài toán thành bài khác.
Nếu người dẫn không biết gì và mở ngẫu nhiên, tình cờ trúng cửa trống, thì khả năng hai cửa còn lại đúng là bằng nhau, mỗi bên một nửa. Lúc này việc mở cửa có mang thông tin, vì có những lần anh đã có thể mở trúng xe.
Còn nếu người dẫn chỉ mời bạn đổi khi bạn đang chọn đúng, tức là cố tình dụ bạn bỏ xe, thì đổi là thua chắc. Ngoài đời, động cơ của người đưa ra lời mời quan trọng không kém con số.
Nhiều cuộc cãi nhau về Monty Hall thật ra là hai bên đang hiểu đề khác nhau. Trước khi cãi về đáp án, hãy thống nhất đề.
Tự thử ở nhà với ba cái cốc
Cách thuyết phục tốt nhất là chơi thật. Lấy ba cái cốc giấy, một viên kẹo. Một người giấu kẹo và làm người dẫn, một người chơi. Chơi khoảng ba mươi ván với chiến lược luôn đổi, rồi ba mươi ván luôn giữ.
Ghi kết quả ra giấy. Ba mươi ván là chưa nhiều, nhưng bạn sẽ thấy rõ xu hướng: nhóm luôn đổi thắng khoảng hai mươi ván, nhóm luôn giữ thắng khoảng mười ván.
Có một cách liệt kê cũng rất thuyết phục: giả sử bạn luôn chọn cửa một, rồi viết ra ba trường hợp xe ở cửa một, hai, ba. Đổi thì thắng ở hai trường hợp, giữ thì thắng ở một. Chỉ ba dòng là xong.
Câu đố nhỏ cho bạn: nếu có bốn cánh cửa, người dẫn mở một cửa trống rồi mời đổi sang một trong hai cửa còn lại, khả năng thắng khi đổi là bao nhiêu.
Câu hỏi thường gặp
Đổi cửa có chắc chắn thắng không?
Không. Đổi cửa chỉ thắng hai phần ba số lần, vẫn có một phần ba số lần bạn đổi mất chiếc xe mà mình đã chọn đúng từ đầu. Nhưng về lâu dài, đổi thắng gấp đôi giữ nguyên.
Vì sao mở một cửa trống lại không làm khả năng thành một nửa?
Vì người dẫn biết trước và luôn mở được một cửa trống, bất kể bạn chọn đúng hay sai. Hành động đó không mang thông tin gì về cửa bạn chọn, nên khả năng của cửa bạn vẫn là một phần ba.
Nếu người dẫn không biết xe ở đâu thì sao?
Nếu người dẫn mở ngẫu nhiên và tình cờ cửa đó trống, thì hai cửa còn lại có khả năng như nhau. Lúc này đổi hay giữ đều thắng một nửa.
Bài toán Monty Hall học ở đâu?
Bài này hay được dùng trong các buổi giới thiệu xác suất có điều kiện ở lớp mười, mười một và ở đại học. Nó là ví dụ kinh điển cho việc thông tin mới thay đổi khả năng như thế nào.
Có cách nào kiểm tra đáp án nhanh không?
Cách nhanh nhất là liệt kê: cố định cửa mình chọn, xét lần lượt xe ở từng cửa, rồi xem chiến lược đổi và giữ thắng ở bao nhiêu trường hợp. Hoặc chơi thật vài chục ván với cốc giấy.
