Giả thuyết Goldbach nói rằng mọi số chẵn lớn hơn hai đều viết được thành tổng của hai số nguyên tố, như bốn bằng hai cộng hai, mười bằng ba cộng bảy. Câu hỏi được nêu từ thế kỷ mười tám, máy tính đã kiểm tới những con số dài hàng chục chữ số và không tìm ra ngoại lệ, nhưng chưa ai chứng minh được nó đúng cho mọi số chẵn.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Nếu bài Collatz ở tập trước là trò chơi chia và nhân, thì Goldbach là trò chơi cộng. Cả hai cùng một kiểu: đề bài vừa với một dòng, còn lời giải thì cả thế giới đang chờ.
Một lá thư giữa hai nhà toán học
Năm một nghìn bảy trăm bốn mươi hai, Christian Goldbach, một người Phổ say mê toán, viết thư cho Euler. Trong thư ông nêu một nhận xét về việc viết các số thành tổng các số nguyên tố. Euler trả lời rằng ông tin điều đó đúng, nhưng không chứng minh được.
Phát biểu thường dùng ngày nay là: mọi số chẵn lớn hơn hai là tổng của hai số nguyên tố. Đây là dạng gọi là giả thuyết Goldbach mạnh. Một số nguyên tố được phép dùng hai lần, như sáu bằng ba cộng ba.
Hãy tự thử vài số. Tám bằng ba cộng năm. Mười hai bằng năm cộng bảy. Hai mươi bằng ba cộng mười bảy, hoặc bảy cộng mười ba. Số chẵn nào bạn chọn cũng ra.
Câu chuyện bắt đầu từ một lá thư riêng, và gần ba thế kỷ sau nó vẫn nằm trong danh sách những câu hỏi mở nổi tiếng nhất của toán học.
Số càng lớn, cách tách càng nhiều
Một điều thú vị là số chẵn càng lớn thì càng có nhiều cách tách. Mười chỉ có hai cách là ba cộng bảy và năm cộng năm. Một trăm thì có sáu cách: ba cộng chín mươi bảy, mười một cộng tám mươi chín, mười bảy cộng tám mươi ba, hai mươi chín cộng bảy mươi mốt, bốn mươi mốt cộng năm mươi chín, bốn mươi bảy cộng năm mươi ba.
Lên tới hàng nghìn, hàng triệu, số cách tách tăng lên rất nhiều. Vẽ thành biểu đồ, người ta thấy một dải điểm dày đặc như hình sao chổi, càng sang phải càng bay cao.
Điều này làm giả thuyết trông gần như chắc chắn đúng: số lớn có quá nhiều cách để thất bại hết. Nếu có ngoại lệ, nó phải là một số nhỏ, mà số nhỏ thì máy tính đã kiểm hết.
Nhưng gần như chắc chắn vẫn chưa phải chứng minh. Lập luận kiểu xác suất này cho biết vì sao người ta tin, không cho biết vì sao nó đúng.
Vì sao bài toán cộng lại khó chứng minh?
Số nguyên tố được định nghĩa bằng phép nhân: không phân tích được thành tích hai số nhỏ hơn. Còn câu hỏi của Goldbach lại là về phép cộng. Hai thế giới này không nói chuyện với nhau dễ dàng.
Biết một số là nguyên tố cho mình biết rất nhiều về việc nó chia hết cho gì, nhưng gần như không nói gì về việc nó cộng với số khác ra sao. Đây là lý do nhiều bài toán trộn giữa cộng và số nguyên tố đều cực khó.
Thêm vào đó, số nguyên tố phân bố thất thường. Có những đoạn chúng đứng sát nhau, có những đoạn dài trống trơn. Muốn chứng minh luôn tìm được một cặp vừa khít, mình phải kiểm soát được sự thất thường đó ở mọi nơi.
Các nhà toán học đã phát triển cả những công cụ tinh vi gọi là phương pháp sàng để tiếp cận, và đã tiến rất gần, nhưng bước cuối cùng vẫn chưa ai bước qua.
Những kết quả đã đạt được
Có một phiên bản yếu hơn gọi là giả thuyết Goldbach yếu: mọi số lẻ lớn hơn năm là tổng của ba số nguyên tố. Phiên bản này đã có chứng minh được giới toán học chấp nhận rộng rãi.
Với bản mạnh, kết quả nổi tiếng nhất thuộc về nhà toán học Trung Quốc Trần Cảnh Nhuận, công bố trọn vẹn vào những năm bảy mươi của thế kỷ hai mươi. Ông chứng minh mọi số chẵn đủ lớn là tổng của một số nguyên tố và một số có nhiều nhất hai thừa số nguyên tố. Chỉ còn cách đích một bước.
Bên cạnh đó, máy tính đã kiểm mọi số chẵn tới một giới hạn dài khoảng mười chín chữ số, không có ngoại lệ.
Điều này nói lên một cảm giác rất thật trong nghiên cứu toán: có khi người ta đi được chín mươi chín phần trăm con đường, và một phần còn lại cần một ý tưởng hoàn toàn mới.
Chơi Goldbach cùng học sinh
Goldbach là trò chơi tuyệt vời cho học sinh lớp sáu vừa học số nguyên tố. Cho mỗi em một số chẵn dưới một trăm, yêu cầu tìm hết các cách tách. Các em vừa luyện nhận diện số nguyên tố, vừa thấy một quy luật lạ.
Câu hỏi tiếp theo nên đặt: vì sao ta không cần xét số hai. Vì hai là số nguyên tố chẵn duy nhất, mà hai cộng một số nguyên tố lẻ thì ra số lẻ, nên với số chẵn lớn hơn bốn, hai số cần tìm đều phải lẻ.
Còn một câu hỏi hay hơn: số chẵn nào có ít cách tách nhất trong khoảng từ hai mươi tới một trăm. Các em sẽ phải làm hết bảng mới trả lời được, và đó chính là tinh thần của toán thực nghiệm.
Câu đố mang về: chứng minh rằng mọi số lẻ lớn hơn năm đều là tổng của ba số nguyên tố, nếu bạn được phép giả sử giả thuyết Goldbach mạnh là đúng.
Câu hỏi thường gặp
Giả thuyết Goldbach mạnh và yếu khác nhau thế nào?
Bản mạnh nói về số chẵn và tổng của hai số nguyên tố. Bản yếu nói về số lẻ và tổng của ba số nguyên tố. Nếu bản mạnh đúng thì bản yếu suy ra ngay, nhưng điều ngược lại không đúng.
Đã có ai chứng minh được Goldbach mạnh chưa?
Chưa. Đây vẫn là một trong những bài toán mở nổi tiếng nhất. Thỉnh thoảng có người công bố lời giải trên mạng nhưng chưa có lời giải nào được giới toán học kiểm tra và chấp nhận.
Vì sao số chẵn lớn hơn hai mới tính?
Vì số hai không thể là tổng của hai số nguyên tố, số nguyên tố nhỏ nhất là hai, hai cộng hai đã bằng bốn. Bốn là số chẵn đầu tiên thoả mãn.
Trần Cảnh Nhuận là ai?
Ông là nhà toán học Trung Quốc thế kỷ hai mươi, nổi tiếng với kết quả gần nhất tới giả thuyết Goldbach mạnh. Câu chuyện ông miệt mài nghiên cứu trong điều kiện khó khăn từng được kể rộng rãi ở nhiều nước, trong đó có Việt Nam.
Kiểm tra một số có phải số nguyên tố bằng cách nào nhanh?
Chỉ cần thử chia cho các số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của số đó. Ví dụ muốn kiểm chín mươi bảy, chỉ cần thử chia cho hai, ba, năm, bảy, vì mười một bình phương đã lớn hơn chín mươi bảy.
