Một nửa lời giải hình học nằm ở hình vẽ: vẽ đủ to, vẽ chuẩn bằng thước và compa, và vẽ trường hợp tổng quát chứ không vẽ một trường hợp đặc biệt đẹp mắt. Còn đường phụ, thứ làm học sinh sợ nhất, thật ra thường đến từ vài thói quen có thể luyện được: nối các trung điểm, kẻ đường song song, và tìm xem có đường tròn nào đi qua bốn điểm không.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Nhiều học sinh giỏi đại số lại ngại hình học, vì cảm giác lời giải đến từ cảm hứng. Tập này mình muốn chỉ ra rằng cảm hứng đó có quy luật, và mắt nhìn hình có thể luyện như luyện bất cứ kỹ năng nào.
Vẽ hình: bước bị coi nhẹ nhất
Hình vẽ nhỏ xíu ở góc giấy là thói quen tai hại. Hình nhỏ thì các điểm chen chúc, góc nào cũng trông bằng nhau, đường nào cũng trông song song. Hãy vẽ to, chiếm cả nửa trang nháp.
Vẽ bằng thước và compa, không vẽ tay. Một đường tròn méo có thể làm bạn tưởng bốn điểm nằm trên một đường tròn trong khi không phải, hoặc ngược lại.
Quan trọng nhất là vẽ trường hợp tổng quát. Đề nói tam giác bất kỳ mà bạn vẽ tam giác cân hay gần đều, hình sẽ có những tính chất mà bài toán không có, và bạn dễ dùng chúng mà không biết. Hãy vẽ một tam giác lệch hẳn, các cạnh dài ngắn khác nhau rõ.
Khi đã có ý tưởng, vẽ lại một hình thứ hai với vị trí khác để kiểm. Nếu điều bạn định chứng minh vẫn đúng trên hình thứ hai, khả năng cao là nó đúng. Nếu sai, bạn vừa tiết kiệm được nửa giờ.
Đường phụ thứ nhất: kẻ đường song song
Ví dụ kinh điển: chứng minh tổng ba góc trong tam giác bằng một trăm tám mươi độ. Qua một đỉnh, kẻ một đường thẳng song song với cạnh đối diện. Ba góc tại đỉnh đó, nằm trên đường thẳng mới, cộng lại thành một góc bẹt.
Hai trong ba góc ấy bằng hai góc còn lại của tam giác, nhờ tính chất góc so le trong khi có hai đường song song. Vậy tổng ba góc tam giác bằng góc bẹt. Một đường phụ, cả bài sáng ra.
Khi nào nghĩ tới đường song song. Khi bài có nhiều góc cần so sánh, hoặc có tỉ số đoạn thẳng. Đường song song sinh ra góc bằng nhau và tam giác đồng dạng, hai công cụ chủ lực của hình học phẳng.
Cũng nhớ rằng phép chứng minh này dựa vào tiên đề đường song song của Euclid. Trên mặt cầu, như mình kể ở tập về Euclid, tổng ba góc không còn là một trăm tám mươi.
Đường phụ thứ hai: nối trung điểm
Đề có trung điểm thì nghĩ ngay tới đường trung bình: đoạn nối trung điểm hai cạnh tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.
Bài đẹp để thấy sức mạnh của nó: vẽ một tứ giác bất kỳ, kể cả tứ giác méo mó, lấy trung điểm bốn cạnh rồi nối lại. Bạn luôn được một hình bình hành. Kết quả này mang tên nhà toán học Pháp Varignon.
Chứng minh chỉ cần một đường phụ: kẻ một đường chéo của tứ giác. Hai đoạn nối trung điểm ở hai bên đường chéo đều là đường trung bình của hai tam giác, nên cùng song song với đường chéo và cùng bằng nửa đường chéo. Hai cạnh đối của hình mới song song và bằng nhau, vậy là hình bình hành.
Bài học: khi thấy trung điểm mà chưa có tam giác nào để dùng đường trung bình, hãy kẻ thêm một đoạn để tạo ra tam giác đó. Đường chéo, đường nối hai đỉnh thường là ứng viên đầu tiên.
Đường phụ thứ ba: tìm đường tròn ẩn
Rất nhiều bài thi khó có một đường tròn không vẽ sẵn mà nằm ẩn trong hình. Khi bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta gọi tứ giác đó là tứ giác nội tiếp, và nó mang theo một kho tính chất về góc.
Dấu hiệu nhận biết hay dùng: tứ giác có tổng hai góc đối bằng một trăm tám mươi độ, hoặc có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. Đặc biệt, hai góc vuông cùng nhìn một đoạn thẳng thì bốn điểm nằm trên đường tròn đường kính đoạn đó.
Vì vậy khi đề có nhiều đường cao, nhiều góc vuông, hãy dò xem có tứ giác nội tiếp nào không. Tìm ra một tứ giác nội tiếp, bạn được thêm vài cặp góc bằng nhau miễn phí.
Học sinh đội tuyển thường tập thói quen: vẽ hình xong, dùng compa thử vài bộ bốn điểm khả nghi. Đường tròn ẩn hiện ra trên giấy nháp trước khi được chứng minh trên bài làm.
Luyện mắt nhìn hình
Mắt nhìn hình đến từ số lượng bài đã làm có suy ngẫm. Mỗi bài giải xong, ghi lại đường phụ then chốt và dấu hiệu nào trong đề đã gợi ra nó. Sau vài chục bài, bạn sẽ thấy các dấu hiệu lặp lại.
Khi bí, thử đi ngược: muốn chứng minh hai đoạn bằng nhau thì cần hai tam giác bằng nhau nào, muốn có tam giác đó thì cần thêm điểm nào. Viết ra chuỗi cần gì để có gì, đường phụ thường hiện ra ở cuối chuỗi.
Các phần mềm vẽ hình động giúp rất nhiều khi luyện: kéo một điểm đi, xem tính chất nào giữ nguyên. Nhưng trong phòng thi chỉ có thước và compa, nên vẫn phải tập vẽ tay chuẩn.
Câu đố nhỏ: trong hình bình hành có được từ trung điểm bốn cạnh của tứ giác, khi nào hình bình hành đó là hình chữ nhật. Gợi ý, hãy nhìn hai đường chéo của tứ giác ban đầu.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao phải vẽ hình tổng quát?
Vì hình đặc biệt như tam giác cân hay tam giác đều có thêm những tính chất mà đề không cho. Vẽ hình đặc biệt dễ khiến người giải vô tình dùng những tính chất đó, dẫn tới lời giải sai cho trường hợp chung.
Khi nào nên kẻ đường song song?
Khi bài có nhiều góc cần so sánh hoặc có tỉ số đoạn thẳng. Đường song song tạo ra các góc bằng nhau và các tam giác đồng dạng, giúp chuyển góc và chuyển tỉ số.
Tứ giác nội tiếp nhận biết thế nào?
Tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đối bằng một trăm tám mươi độ, hoặc hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau. Hai góc vuông cùng nhìn một đoạn là trường hợp hay gặp.
Định lý Varignon nói gì?
Định lý nói rằng nối trung điểm bốn cạnh của một tứ giác bất kỳ luôn được một hình bình hành. Chứng minh dùng đường trung bình của tam giác sau khi kẻ đường chéo.
Làm sao để giỏi hình học hơn?
Vẽ hình to và chuẩn, giải nhiều bài có suy ngẫm, ghi lại đường phụ then chốt của mỗi bài cùng dấu hiệu gợi ra nó, và tập suy luận ngược từ điều cần chứng minh.
