Bất đẳng thức Cô-si nói rằng với hai số không âm, trung bình cộng của chúng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân, tức căn bậc hai của tích, và hai bên bằng nhau đúng khi hai số bằng nhau. Nó xuất hiện ở gần như mọi kỳ thi vì rất nhiều bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thật ra là bài cân bằng hai đại lượng.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Học sinh Việt Nam gọi đây là bất đẳng thức Cô-si, theo tên nhà toán học Pháp Cauchy. Sách nước ngoài thường gọi nó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Tập này mình giải thích vì sao có hai tên, chứng minh nó trong một dòng, và chỉ ra cái bẫy làm học sinh mất điểm nhiều nhất.
Phát biểu và chứng minh một dòng
Với hai số không âm a và b, a cộng b chia hai lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai của a nhân b. Thử với bốn và chín: trung bình cộng là sáu phẩy năm, trung bình nhân là căn ba mươi sáu bằng sáu. Sáu phẩy năm lớn hơn sáu. Đúng.
Chứng minh chỉ cần một ý: bình phương của một số không bao giờ âm. Lấy căn a trừ căn b, bình phương lên, được a trừ hai căn ab cộng b, lớn hơn hoặc bằng không. Chuyển vế là xong.
Dấu bằng xảy ra khi căn a trừ căn b bằng không, tức a bằng b. Đây là chi tiết quan trọng nhất của cả bất đẳng thức, mình sẽ quay lại ngay.
Ý nghĩa trực quan: hai số càng lệch nhau thì tích càng nhỏ so với tổng. Đó chính là bài rào vườn trong tập bốn bước của Pólya: cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Vì sao học sinh Việt Nam gọi là Cô-si?
Phiên bản cho nhiều số, nói rằng trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, có một chứng minh nổi tiếng của Cauchy trong cuốn giáo trình giải tích của ông ở đầu thế kỷ mười chín, dùng một kiểu quy nạp đi lên rồi đi xuống rất đẹp.
Sách toán ở Việt Nam quen gắn tên ông cho bất đẳng thức này, và tên gọi đã thành thói quen qua nhiều thế hệ. Bản thân bất đẳng thức cho hai số thì đã được biết từ rất lâu trước đó.
Khi đọc tài liệu tiếng Anh, bạn sẽ thấy tên Cauchy gắn với một bất đẳng thức khác, thường gọi ở mình là bất đẳng thức Bunhiacốpxki. Học sinh đi thi quốc tế hay đọc sách nước ngoài nên biết cả hai cách gọi để khỏi lẫn.
Chuyện tên gọi không quan trọng bằng nội dung, nhưng biết rõ giúp tra cứu dễ hơn và tránh hiểu nhầm khi trao đổi.
Dùng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Bài cổ điển: với x dương, tìm giá trị nhỏ nhất của x cộng một chia x. Áp dụng Cô-si cho hai số x và một chia x, tích của chúng bằng một, nên tổng lớn hơn hoặc bằng hai lần căn một, tức là hai. Dấu bằng khi x bằng một chia x, tức x bằng một. Vậy giá trị nhỏ nhất là hai.
Mấu chốt là chọn hai số sao cho tích của chúng là hằng số. Khi tích cố định, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. Khi tổng cố định, tích lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Ngoài đời, ý này xuất hiện ở bài thiết kế hộp, chọn kích thước bể nước, chia thời gian giữa hai việc. Phần lớn đều quy về việc cân bằng hai đại lượng.
Học sinh lớp chín đã có thể dùng Cô-si cho hai số. Lên đội tuyển, các bạn dùng cho ba, bốn số và kết hợp nhiều bất đẳng thức khác nhau.
Bẫy dấu bằng và kỹ thuật chọn điểm rơi
Đổi đề một chút: với x lớn hơn hoặc bằng hai, tìm giá trị nhỏ nhất của x cộng một chia x. Nhiều bạn áp dụng y như trên, viết giá trị nhỏ nhất là hai. Sai, vì dấu bằng cần x bằng một, mà x không được nhỏ hơn hai.
Đây là lỗi mất điểm nhiều nhất với bất đẳng thức: tìm ra một chặn dưới nhưng chặn đó không bao giờ đạt được. Một giá trị nhỏ nhất phải đạt được tại một điểm cụ thể.
Cách xử lý mà học sinh Việt Nam gọi là kỹ thuật chọn điểm rơi. Đoán trước giá trị nhỏ nhất đạt tại x bằng hai. Tại đó, x bằng hai và một chia x bằng một phần hai. Muốn hai số bằng nhau tại điểm đó, tách x thành x chia bốn và ba x chia bốn. Áp dụng Cô-si cho x chia bốn và một chia x được ít nhất một, còn ba x chia bốn ít nhất ba phần hai. Tổng ít nhất năm phần hai, đạt tại x bằng hai.
Bài học chung: trước khi dùng Cô-si, luôn hỏi dấu bằng xảy ra ở đâu, và điểm đó có nằm trong miền cho phép không.
Luyện bất đẳng thức thế nào cho khỏi ngợp?
Bất đẳng thức là mảng có rất nhiều tài liệu và rất nhiều mẹo, dễ làm học sinh ngợp. Hãy bắt đầu bằng việc hiểu thật sâu một vài bất đẳng thức cơ bản, chứng minh được chúng, và biết dấu bằng của từng cái.
Với mỗi bài đã giải, ghi lại điểm rơi và lý do chọn cách tách. Sau vài chục bài, bạn sẽ thấy các kiểu tách lặp lại, và đó là lúc trực giác hình thành.
Đừng chỉ học cách chứng minh, hãy tự hỏi bất đẳng thức đó nói gì bằng hình ảnh. Một bất đẳng thức hiểu được bằng hình thì khó quên.
Câu đố nhỏ: với hai số dương có tổng bằng mười, tích của chúng lớn nhất bằng bao nhiêu. Thử trả lời bằng Cô-si, rồi kiểm lại bằng bài rào vườn.
Câu hỏi thường gặp
Bất đẳng thức Cô-si phát biểu thế nào?
Với các số không âm, trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân. Với hai số a và b, a cộng b chia hai lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai của a nhân b, dấu bằng khi a bằng b.
Khi nào dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si xảy ra?
Dấu bằng xảy ra khi tất cả các số bằng nhau. Đây là điều kiện bắt buộc phải kiểm tra khi dùng Cô-si để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Kỹ thuật chọn điểm rơi là gì?
Đó là cách đoán trước điểm mà giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất đạt được, rồi tách biểu thức sao cho khi áp dụng bất đẳng thức, dấu bằng xảy ra đúng tại điểm đó.
Bất đẳng thức Cô-si học ở lớp mấy?
Học sinh thường gặp bất đẳng thức Cô-si cho hai số trong các bài nâng cao lớp tám, lớp chín, và học kỹ hơn ở lớp mười cùng các bài toán thi học sinh giỏi.
Vì sao sách nước ngoài không gọi là bất đẳng thức Cauchy?
Sách nước ngoài thường gọi theo nội dung là bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Tên Cauchy ở đó thường được dùng cho một bất đẳng thức khác, mà ở Việt Nam hay gọi là bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
