Chữ số tận cùng của bảy mũ hai nghìn không trăm hai mươi sáu là chín, và bạn tìm ra điều đó mà không cần tính con số khổng lồ, chỉ cần để ý rằng chữ số tận cùng của các lũy thừa của bảy lặp lại theo chu kỳ bốn: bảy, chín, ba, một. Cách nghĩ chỉ quan tâm tới số dư như vậy có tên là đồng dư, và nó là một trong những công cụ trung tâm của số học trong đề thi học sinh giỏi.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đồng dư nghe như một khái niệm cao siêu, nhưng thật ra bạn đã dùng nó hằng ngày mỗi khi nhìn đồng hồ. Tập này mình đi từ mặt đồng hồ tới những bài số học hay gặp trong đề thi.
Chu kỳ của chữ số tận cùng
Bảy mũ một là bảy. Bảy mũ hai là bốn mươi chín, tận cùng chín. Bảy mũ ba tận cùng bằng bảy nhân chín, tức sáu mươi ba, là ba. Bảy mũ bốn tận cùng bằng bảy nhân ba, là một. Rồi lặp lại: bảy, chín, ba, một.
Chữ số tận cùng của một tích chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của các thừa số. Vì vậy khi tính lũy thừa, mình chỉ cần theo dõi chữ số tận cùng, và vì chỉ có mười khả năng, sớm muộn nó phải lặp.
Với chu kỳ bốn, chia số mũ cho bốn. Hai nghìn không trăm hai mươi sáu chia bốn dư hai, nên bảy mũ hai nghìn không trăm hai mươi sáu có chữ số tận cùng giống bảy mũ hai, tức là chín.
Hai có chu kỳ hai, bốn, tám, sáu. Ba có chu kỳ ba, chín, bảy, một. Còn những số tận cùng bằng không, một, năm, sáu thì lũy thừa nào cũng giữ nguyên chữ số tận cùng. Biết những điều này, nhiều bài tìm chữ số tận cùng chỉ mất một phút.
Đồng dư: phép toán trên mặt đồng hồ
Bây giờ là chín giờ, thêm năm tiếng là mấy giờ. Bạn trả lời hai giờ, không phải mười bốn giờ. Bạn vừa làm phép cộng theo kiểu đồng hồ mười hai giờ, tức là chỉ giữ lại số dư khi chia cho mười hai.
Toán học nói hai số đồng dư theo một số khi chúng có cùng số dư khi chia cho số đó. Mười bốn và hai đồng dư theo mười hai. Chữ số tận cùng chính là số dư khi chia cho mười, nên bài chữ số tận cùng là bài đồng dư theo mười.
Điều kỳ diệu là cộng, trừ, nhân đều giữ được quan hệ đồng dư. Muốn biết một tích chia cho chín dư mấy, chỉ cần nhân số dư của từng thừa số rồi lấy dư lần nữa. Không cần tính tích thật.
Gauss là người đưa ra cách viết đồng dư mà ngày nay vẫn dùng, trong cuốn sách về số học ông viết khi còn rất trẻ.
Vì sao dấu hiệu chia hết cho chín lại đúng?
Học sinh lớp sáu học thuộc: một số chia hết cho chín khi tổng các chữ số chia hết cho chín. Ít ai được giải thích vì sao.
Mười chia chín dư một. Vậy một trăm, tức mười nhân mười, chia chín cũng dư một nhân một, bằng một. Mọi lũy thừa của mười đều chia chín dư một.
Một số như ba nghìn bốn trăm hai mươi mốt là ba nhân một nghìn, cộng bốn nhân một trăm, cộng hai nhân mười, cộng một. Theo đồng dư chín, mỗi lũy thừa của mười thay bằng một, nên số đó đồng dư với ba cộng bốn cộng hai cộng một. Số dư khi chia chín bằng số dư của tổng các chữ số.
Cùng cách nghĩ, mười chia mười một dư âm một, nên dấu hiệu chia hết cho mười một là tổng các chữ số xen kẽ dấu cộng trừ. Một khi hiểu cơ chế, bạn tự suy ra được dấu hiệu chia hết cho nhiều số khác.
Mẹo chứng minh bằng số dư trong đề thi
Một kiểu bài hay gặp: chứng minh một phương trình không có nghiệm nguyên. Mẹo là xét số dư của hai vế khi chia cho một số nhỏ, nếu hai vế không bao giờ cùng số dư thì không thể bằng nhau.
Ví dụ: bình phương của một số nguyên chia bốn chỉ có thể dư không hoặc một. Số chẵn bình phương chia hết cho bốn, số lẻ bình phương chia bốn dư một. Vậy tổng hai số chính phương chia bốn chỉ dư không, một hoặc hai, không bao giờ dư ba.
Kết luận: không có số nào chia bốn dư ba mà viết được thành tổng hai số chính phương. Mười một, mười chín, hai mươi ba đều không được. Bạn không cần thử hết các cặp, chỉ một lập luận số dư là đủ.
Chọn chia cho số nào là nghệ thuật. Bình phương thì hay xét theo ba, bốn, tám. Lập phương thì hay xét theo bảy, chín. Học sinh đội tuyển tích luỹ dần những lựa chọn này qua nhiều bài.
Đồng dư quanh mình
Thứ trong tuần là đồng dư theo bảy. Một năm thường có ba trăm sáu mươi lăm ngày, chia bảy dư một, nên ngày sinh nhật năm sau lùi sang thứ kế tiếp, năm nhuận thì lùi hai thứ.
Mã số trên nhiều loại giấy tờ, thẻ, mã vạch có một chữ số kiểm tra được tính bằng đồng dư. Gõ nhầm một chữ số, máy tính phát hiện ngay vì số dư không khớp.
Mật mã hiện đại dựa nặng vào đồng dư với những số cực lớn, chuyện mình sẽ kể ở chuyên mục nghề dùng toán.
Câu đố nhỏ: hôm nay là thứ hai. Một trăm ngày nữa là thứ mấy. Và chữ số tận cùng của hai mũ một trăm là bao nhiêu.
Câu hỏi thường gặp
Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa lớn?
Liệt kê chữ số tận cùng của vài lũy thừa đầu để tìm chu kỳ, rồi chia số mũ cho độ dài chu kỳ và dùng số dư để biết vị trí trong chu kỳ. Với cơ số bảy, chu kỳ là bảy, chín, ba, một.
Đồng dư là gì nói đơn giản?
Hai số đồng dư theo một số khi chúng có cùng số dư khi chia cho số đó. Phép cộng giờ trên đồng hồ là ví dụ quen thuộc của đồng dư theo mười hai.
Vì sao tổng các chữ số dùng để kiểm tra chia hết cho ba và chín?
Vì mười chia ba và chia chín đều dư một, nên mọi lũy thừa của mười cũng dư một. Do đó một số có cùng số dư với tổng các chữ số của nó khi chia cho ba hoặc chín.
Số chính phương chia bốn dư mấy?
Chỉ có thể dư không hoặc một. Bình phương số chẵn chia hết cho bốn, bình phương số lẻ chia bốn dư một. Tính chất này giúp chứng minh nhiều phương trình không có nghiệm nguyên.
Đồng dư học ở lớp mấy?
Đồng dư không nằm trong chương trình chính khoá phổ thông như một chương riêng, nhưng là nội dung quan trọng trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi từ cấp hai, và được học bài bản ở đại học.
