Gặp một bài toán khó chưa biết bắt đầu từ đâu, cách mà nhiều nhà toán học dùng là thu nhỏ bài toán lại: giải với hai, ba, bốn đối tượng trước, ghi kết quả thành bảng, đoán quy luật, rồi mới đi tìm lý do vì sao quy luật ấy đúng. Bài nhỏ thì làm bằng tay được, và chính bàn tay sẽ chỉ đường cho đầu óc.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Tập này mình đi qua hai bài kinh điển là bài bắt tay và bài tháp Hà Nội, để bạn thấy cách thu nhỏ một bài toán trông như thế nào từ bên trong. Cuối tập có một bài nhỏ để bạn tự thử.
Vì sao thu nhỏ bài toán lại có tác dụng?
Bài toán lớn làm mình ngợp vì có quá nhiều thứ cùng lúc. Một trăm người, một nghìn bước, cả bàn cờ. Đầu óc người không giữ được hết, và thế là mình nhìn đề mà không biết cầm vào chỗ nào.
Bài nhỏ thì khác. Hai người, ba người, mình vẽ ra giấy được, đếm bằng tay được. Khi đã làm tay vài trường hợp, mình bắt đầu cảm thấy cấu trúc của bài: cái gì lặp lại, cái gì tăng lên, tăng theo kiểu gì.
Nhà toán học Pólya, trong cuốn sách nổi tiếng về cách giải toán, khuyên người học hãy hỏi: có bài nào đơn giản hơn, gần giống bài này không. Thu nhỏ chính là cách tạo ra bài đơn giản hơn từ chính bài đang có.
Nhưng cần nhớ tập đầu tiên của chuỗi này: quy luật đoán từ bảng mới chỉ là đoán. Bước cuối luôn là giải thích được vì sao.
Bài bắt tay: mười người bắt tay nhau bao nhiêu lần?
Trong một buổi họp lớp có mười người, ai cũng bắt tay mọi người khác đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay.
Thu nhỏ đi. Hai người: một cái. Ba người: ba cái. Bốn người: sáu cái. Năm người: mười cái. Bảng của mình là một, ba, sáu, mười. Hiệu giữa các số liên tiếp là hai, ba, bốn, tức là mỗi khi thêm một người, số bắt tay tăng thêm đúng bằng số người đã có mặt.
Điều đó rất dễ giải thích: người mới đến phải bắt tay từng người đã ở đó. Vậy với mười người, tổng là một cộng hai cộng ba, cứ thế tới chín, bằng bốn mươi lăm.
Còn một cách nhìn khác gọn hơn: mỗi người bắt tay chín người, mười người thành chín mươi lần, nhưng mỗi cái bắt tay được đếm hai lần, từ hai phía. Chia đôi, bốn mươi lăm. Hai cách đếm ra cùng một số, và đó là một lời kiểm tra rất đáng tin.
Tháp Hà Nội: trò chơi mang tên thủ đô mình
Tháp Hà Nội là trò chơi do nhà toán học Pháp Édouard Lucas giới thiệu vào cuối thế kỷ mười chín. Có ba cái cọc, một cọc xếp sẵn nhiều đĩa to nhỏ, đĩa to ở dưới. Nhiệm vụ là chuyển cả chồng sang cọc khác, mỗi lần chỉ chuyển một đĩa, và không bao giờ đặt đĩa to lên đĩa nhỏ.
Đi kèm trò chơi là một truyền thuyết về các tu sĩ chuyển sáu mươi tư cái đĩa vàng, xong thì tận thế. Truyền thuyết này nhiều khả năng là do chính người giới thiệu trò chơi bịa ra cho hấp dẫn, bạn đừng tin là chuyện cổ thật.
Thu nhỏ bài toán. Một đĩa: một bước. Hai đĩa: ba bước. Ba đĩa: bảy bước. Bốn đĩa: mười lăm bước. Bảng là một, ba, bảy, mười lăm, mỗi số bằng gấp đôi số trước cộng một, và cũng bằng một lũy thừa của hai trừ đi một.
Lý do rất đẹp. Muốn chuyển chồng en đĩa, mình phải chuyển en trừ một đĩa trên sang cọc phụ, chuyển đĩa to nhất sang đích, rồi chuyển en trừ một đĩa kia đè lên. Vậy số bước cho en đĩa bằng hai lần số bước cho en trừ một đĩa, cộng một.
Sáu mươi tư đĩa thì mất bao lâu?
Theo quy luật trên, sáu mươi tư đĩa cần hai mũ sáu mươi tư trừ một bước. Con số này khoảng mười tám tỉ tỉ, tức là số mười tám theo sau là mười tám chữ số không.
Nếu mỗi giây chuyển được một đĩa, không ngủ không nghỉ, thì phải mất hơn năm trăm tỉ năm. Lâu hơn tuổi vũ trụ hiện nay rất nhiều lần. Truyền thuyết tận thế, nếu có thật, cũng chẳng làm ai phải lo.
Đây là một cách cảm nhận sức mạnh của việc nhân đôi lặp lại. Mỗi đĩa thêm vào làm thời gian gấp đôi. Mười đĩa mới cần hơn một nghìn bước, hai mươi đĩa đã hơn một triệu.
Cũng chính kiểu tăng gấp đôi này xuất hiện trong lãi kép, trong chuyện tin đồn lan đi, hay chuyện vi khuẩn sinh sôi. Hiểu tháp Hà Nội là có thêm một trực giác đúng về tăng trưởng.
Biến thói quen thu nhỏ thành phản xạ
Khi gặp đề có chữ en, có chữ một trăm, một nghìn, hãy làm ngay một việc: thay bằng số nhỏ nhất có nghĩa rồi giải. Viết kết quả thành bảng ngay ngắn, đừng để lộn xộn trong đầu.
Khi đã có bảng, hãy nhìn hiệu giữa các số liên tiếp, rồi nhìn tỉ số. Hiệu đều thì có thể là quy luật cộng. Tỉ số đều thì có thể là quy luật nhân. Hiệu của hiệu đều thì có thể có bình phương ở đâu đó.
Rồi hỏi câu quan trọng nhất: từ bài cỡ en trừ một, mình làm thêm gì để có bài cỡ en. Câu hỏi này thường mở ra lời giải, và chính nó dẫn sang phép quy nạp.
Bài để bạn thử: vẽ en đường thẳng trên mặt phẳng, không có hai đường nào song song, không có ba đường nào cùng đi qua một điểm. Chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần. Hãy bắt đầu với một đường, hai đường, ba đường.
Câu hỏi thường gặp
Pólya là ai?
George Pólya là nhà toán học gốc Hungary, nổi tiếng với cuốn sách hướng dẫn cách giải toán xuất bản giữa thế kỷ hai mươi. Cuốn sách đưa ra một chuỗi câu hỏi tự đặt cho mình khi giải bài, đến nay vẫn được dùng trong dạy học.
Tháp Hà Nội có liên quan gì tới Việt Nam không?
Trò chơi được đặt tên theo Hà Nội, nhưng do một nhà toán học người Pháp giới thiệu ở châu Âu. Nó không phải trò chơi dân gian Việt Nam. Vì sao chọn tên Hà Nội thì người ta chỉ đoán, không có câu trả lời chắc chắn.
Vì sao thử trường hợp nhỏ mà vẫn có thể đoán sai?
Vì vài số đầu có thể khớp với nhiều quy luật khác nhau. Một dãy một, hai, bốn có thể tiếp tục bằng tám hoặc bằng bảy tuỳ quy luật thật. Nên sau khi đoán phải giải thích hoặc chứng minh.
Bài bắt tay có công thức tổng quát không?
Có. Với en người, số cái bắt tay bằng en nhân en trừ một, rồi chia cho hai. Công thức này cũng chính là số cách chọn hai người từ en người.
Học sinh tiểu học có tập được cách thu nhỏ bài toán không?
Hoàn toàn được, qua các bài đếm hình, đếm đường đi, xếp que diêm. Cách hỏi đơn giản như nếu chỉ có hai bạn thì sao, ba bạn thì sao là đủ để các em bắt đầu thấy quy luật.
