Muốn biết ao nhà có bao nhiêu cá mà không phải tát cạn, bạn bắt một mẻ, đánh dấu từng con rồi thả lại, vài hôm sau bắt mẻ thứ hai và đếm xem bao nhiêu con mang dấu. Tỉ lệ cá có dấu trong mẻ thứ hai xấp xỉ tỉ lệ cá đã đánh dấu trong cả ao, và từ đó một phép nhân chia đơn giản cho ra tổng số cá.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đây là một trong những phép toán mình thích nhất, vì nó cho phép đếm thứ không thể đếm trực tiếp, chỉ bằng kiến thức tỉ lệ lớp bảy. Các nhà sinh thái học dùng nó để ước lượng chim, rùa, cá trong hồ lớn. Tập này mình làm thử với cái ao sau nhà.
Phép tính chỉ cần tỉ lệ
Giả sử lần thứ nhất bạn kéo lưới được năm mươi con cá. Bạn đánh dấu cả năm mươi con bằng một cách không làm hại chúng, rồi thả lại ao.
Đợi vài ngày cho cá đã đánh dấu bơi lẫn đều với đàn. Lần thứ hai bạn kéo được sáu mươi con, trong đó có sáu con mang dấu. Vậy trong mẻ thứ hai, cứ mười con có một con có dấu.
Nếu mẻ thứ hai là một mẫu đại diện cho cả ao, thì trong cả ao, cá có dấu cũng chiếm khoảng một phần mười. Mà bạn biết chắc có năm mươi con có dấu. Vậy tổng số cá khoảng năm mươi nhân mười, tức năm trăm con.
Công thức gọn: lấy số cá đánh dấu lần một, nhân với số cá bắt lần hai, chia cho số cá có dấu bắt lại. Năm mươi nhân sáu mươi chia sáu, ra năm trăm.
Vì sao cách này đúng?
Ý tưởng là so hai tỉ lệ phải bằng nhau. Tỉ lệ cá có dấu trong cả ao là năm mươi chia tổng số cá, một con số chưa biết. Tỉ lệ cá có dấu trong mẻ lưới là sáu chia sáu mươi, một con số đo được.
Nếu mẻ lưới vớt ngẫu nhiên từ một ao đã trộn đều, hai tỉ lệ này phải xấp xỉ nhau. Đặt chúng bằng nhau rồi giải ra số chưa biết. Đó chính là bài toán tỉ lệ thức mà học sinh lớp bảy giải hằng ngày.
Đây cũng là tinh thần của mọi cuộc khảo sát: một mẫu nhỏ, được chọn đúng cách, phản ánh được tỉ lệ của cả tổng thể. Chỉ có điều ở đây mình dùng tỉ lệ đó để suy ra kích thước của tổng thể.
Phương pháp này có tên trong sách sinh thái học là phương pháp bắt, đánh dấu, bắt lại, và được dùng rộng rãi từ thế kỷ hai mươi.
Những giả định phải đúng, và chỗ hay hỏng
Phép tính chỉ tin được khi vài giả định gần đúng. Thứ nhất, số cá trong ao không đổi giữa hai lần bắt: không có cá chết nhiều, không có lứa cá con mới nở, không có ai thả thêm hay bắt bớt.
Thứ hai, dấu không bị mất. Nếu dấu phai đi, bạn sẽ đếm thiếu cá có dấu ở lần hai, và ước lượng sẽ bị phóng to lên.
Thứ ba, cá đã đánh dấu phải bơi lẫn đều với đàn, và có khả năng bị bắt giống như cá chưa đánh dấu. Có loài sau khi bị bắt một lần thì sợ lưới, trốn kỹ hơn, làm số bắt lại ít đi. Có loài lại quen chỗ thả mồi, dễ bắt lại hơn. Cả hai đều làm lệch kết quả.
Thứ tư, mẻ lưới phải quét được nhiều khu vực trong ao, không chỉ một góc. Cá thường tụ ở chỗ mát, chỗ có thức ăn, nên kéo lưới một góc là mẫu bị lệch ngay.
Ước lượng có sai số, và nên báo cáo thế nào?
Nếu lần hai bạn bắt được năm con có dấu thay vì sáu, ước lượng thành sáu trăm. Bắt được bảy con thì ra khoảng bốn trăm hai mươi tám. Chỉ lệch một con mà kết quả dao động cả trăm.
Điều này nhắc lại luật số lớn: số con có dấu bắt lại càng ít thì ước lượng càng chao đảo. Muốn chắc hơn, cần đánh dấu nhiều hơn hoặc bắt lần hai nhiều hơn, để có thêm cá có dấu trong mẻ hai.
Vì vậy người làm khoa học không báo cáo đúng một con số năm trăm, mà báo cáo một khoảng, ví dụ khoảng bốn trăm tới sáu trăm con. Báo cáo một khoảng là trung thực về sai số.
Một cách làm tốt hơn là lặp lại nhiều đợt bắt thả rồi gộp thông tin, các nhà sinh thái học có những mô hình phức tạp hơn để làm việc đó.
Từ ao cá tới những thứ khó đếm khác
Ý tưởng này dùng được ở những nơi không thể đếm từng cá thể: rùa ở một bãi biển, chim ở một khu rừng, cá trong một hồ thuỷ lợi rộng mênh mông.
Các nhà nghiên cứu xã hội cũng dùng biến thể của nó để ước lượng những nhóm người khó thống kê, bằng cách so hai danh sách độc lập và đếm phần trùng nhau. Phần trùng càng ít thì nhóm thật càng đông so với hai danh sách.
Khi đánh dấu động vật, phải chọn cách không gây hại và tuân thủ quy định bảo vệ động vật hoang dã. Với ao nhà, có thể hỏi cán bộ khuyến nông hay người có kinh nghiệm nuôi cá về cách đánh dấu an toàn.
Câu đố nhỏ: một lớp học muốn ước lượng số hạt đậu trắng trong một bao lớn. Các em có thể dùng hạt đậu đen làm dấu như thế nào để áp dụng đúng phương pháp này.
Câu hỏi thường gặp
Phương pháp bắt đánh dấu thả lại là gì?
Đó là cách ước lượng số lượng một quần thể bằng cách bắt và đánh dấu một nhóm, thả lại, rồi bắt một nhóm thứ hai và xem tỉ lệ cá thể có dấu. Tỉ lệ đó giúp suy ra tổng số mà không cần đếm từng cá thể.
Công thức ước lượng là gì?
Tổng số xấp xỉ bằng số cá thể đánh dấu lần một nhân với số cá thể bắt lần hai, rồi chia cho số cá thể có dấu trong lần bắt thứ hai.
Vì sao phải đợi vài ngày mới bắt lần hai?
Để những cá thể đã đánh dấu kịp bơi hoặc di chuyển lẫn đều vào cả quần thể. Bắt lại ngay thì dễ vớt trúng đúng nhóm vừa thả, làm tỉ lệ có dấu cao giả tạo và ước lượng bị nhỏ hơn thật.
Nếu lần hai không bắt được con nào có dấu thì sao?
Khi đó công thức không dùng được vì phải chia cho không. Điều này thường có nghĩa quần thể rất lớn so với số đã đánh dấu, cần đánh dấu nhiều hơn hoặc bắt lần hai nhiều hơn.
Học sinh có thể làm thí nghiệm này ở lớp không?
Có, dùng một hộp hạt đậu hoặc hạt bắp. Lấy ra một nắm, đánh dấu bằng màu, trộn lại, rồi bốc nắm thứ hai để ước lượng tổng số hạt. Sau đó đếm thật để so sánh, các em sẽ thấy rõ sai số.
