Luật số lớn nói rằng khi lặp lại một phép thử ngẫu nhiên càng nhiều lần, tỉ lệ kết quả quan sát được càng tiến sát tới khả năng thật. Vì vậy mười lần tung đồng xu ra bảy lần ngửa chẳng có gì đáng ngạc nhiên, nhưng một nghìn lần tung mà ra bảy trăm lần ngửa thì gần như chắc chắn đồng xu bị lệch.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Ở tập ngụy biện con bạc, mình đã hẹn sẽ nói kỹ về luật số lớn. Đây là định luật nằm dưới gần như mọi con số thống kê bạn đọc trên báo, và hiểu nó giúp bạn bớt bị lừa bởi những kết quả rút ra từ quá ít dữ liệu.
Mười lần tung thì dao động tới đâu?
Tung một đồng xu công bằng mười lần. Bạn mong năm ngửa năm sấp, nhưng kết quả đúng năm năm chỉ xảy ra khoảng một phần tư số lần. Ra bảy ngửa trở lên chiếm khoảng mười bảy phần trăm số lần, tức cứ sáu lượt chơi lại có một lượt như vậy.
Nếu ai đó tung mười lần, thấy bảy ngửa rồi kết luận đồng xu thiên về ngửa, kết luận đó rất yếu. Kết quả ấy hoàn toàn bình thường với một đồng xu công bằng.
Tung một trăm lần, con số ngửa thường rơi vào khoảng từ bốn mươi lăm tới năm mươi lăm. Tung một vạn lần, nó thường nằm trong khoảng từ bốn nghìn chín trăm tới năm nghìn một trăm, tức tỉ lệ chỉ lệch khỏi một nửa chừng một phần trăm.
Bạn để ý: số lần ngửa lệch khỏi một nửa càng nhiều khi tung càng nhiều, nhưng tỉ lệ thì lệch càng ít. Luật số lớn nói về tỉ lệ, không nói về hiệu số.
Ai phát biểu luật số lớn?
Nhà toán học Thuỵ Sĩ Jacob Bernoulli, ở cuối thế kỷ mười bảy, là người đầu tiên chứng minh một dạng của luật số lớn. Công trình của ông được in năm một nghìn bảy trăm mười ba, sau khi ông mất.
Người ta kể ông mất khoảng hai mươi năm để hoàn thiện chứng minh, và tự hào về nó hơn hẳn các kết quả khác. Lý do là nó trả lời một câu hỏi rất cũ: vì sao có thể đoán khả năng thật bằng cách quan sát nhiều lần.
Trước Bernoulli, người ta đã biết điều này một cách mơ hồ từ kinh nghiệm cờ bạc và bảo hiểm. Ông biến nó thành một định lý: với đủ nhiều lần thử, gần như chắc chắn tỉ lệ quan sát sẽ gần khả năng thật tới mức bạn muốn.
Ngày nay, mọi cuộc khảo sát, mọi thống kê bảo hiểm, mọi thử nghiệm thuốc đều dựa vào ý tưởng này.
Vì sao trường nhỏ hay đứng ở cả hai đầu bảng xếp hạng?
Đây là ứng dụng ít người để ý. Giả sử bạn xếp các trường theo điểm trung bình kỳ thi. Thường thì nhóm trường đứng đầu có nhiều trường rất ít học sinh, và nhóm đứng cuối cũng có nhiều trường rất ít học sinh.
Không phải trường nhỏ dạy giỏi hơn hay kém hơn. Một trường chỉ có hai mươi học sinh dự thi thì vài em đặc biệt giỏi hay vài em gặp chuyện trong ngày thi đã đủ kéo điểm trung bình lên hoặc xuống mạnh. Trường có năm trăm em thì những dao động đó bị pha loãng.
Nhiều người nhìn bảng xếp hạng rồi kết luận nên chia nhỏ trường cho học sinh học tốt hơn, trong khi thứ họ đang thấy chỉ là luật số lớn chạy ngược: mẫu nhỏ dao động mạnh.
Cùng hiện tượng này xuất hiện ở bảng xếp hạng tỉ lệ bệnh theo huyện, xã: những nơi ít dân thường có cả tỉ lệ cao nhất lẫn thấp nhất. Trước khi ngạc nhiên vì một con số cực đoan, hãy hỏi nó được tính trên bao nhiêu người.
Cần bao nhiêu lần thử thì mới tin?
Không có con số chung cho mọi trường hợp, nhưng có một quy tắc ước lượng hữu ích. Độ dao động của một tỉ lệ giảm theo căn bậc hai của số lần thử. Muốn độ dao động giảm còn một nửa, bạn cần gấp bốn lần số lần thử, không phải gấp đôi.
Từ một trăm lên bốn trăm lần tung, độ dao động giảm một nửa. Từ bốn trăm lên một nghìn sáu trăm, lại giảm một nửa. Mỗi bước chính xác hơn đều đắt dần lên.
Đây là lý do các cuộc khảo sát lớn thường dừng ở vài nghìn người chứ không hỏi cả triệu người. Hỏi thêm rất nhiều người chỉ làm chính xác thêm một chút, trong khi chi phí tăng vọt.
Và đây cũng là lý do một cửa hàng thử món mới trong ba ngày rồi kết luận khách thích hay không là quá vội. Ba ngày chỉ là vài chục lượt khách, dao động còn rất lớn.
Luật số lớn không làm được gì?
Luật số lớn không bảo đảm gì cho một lần thử riêng lẻ. Nó không nói lần tung sau sẽ ra gì, như mình đã nói ở tập ngụy biện con bạc.
Nó cũng không cứu được dữ liệu bị lệch từ gốc. Nếu bạn hỏi một triệu người nhưng chỉ hỏi những người theo dõi một trang mạng nào đó, con số thu được sẽ rất ổn định, nhưng ổn định quanh một giá trị sai. Nhiều dữ liệu không thay thế được dữ liệu đúng.
Và nó cần các lần thử thật sự giống nhau và độc lập. Nếu điều kiện thay đổi trong lúc thử, ví dụ đồng xu mòn dần, thì tỉ lệ sẽ tiến tới cái gì cũng khó nói.
Câu đố nhỏ: một bệnh viện nhỏ mỗi ngày có khoảng mười lăm em bé chào đời, một bệnh viện lớn có khoảng bốn mươi lăm. Bệnh viện nào sẽ có nhiều ngày hơn mà số bé trai chiếm quá sáu phần mười.
Câu hỏi thường gặp
Luật số lớn là gì nói ngắn gọn?
Lặp lại một phép thử ngẫu nhiên càng nhiều lần thì tỉ lệ kết quả quan sát được càng gần với khả năng thật của nó. Đó là cầu nối giữa xác suất trên giấy và tần suất ngoài đời.
Luật số lớn có nghĩa là kết quả sẽ tự bù trừ không?
Không. Những lần lệch không được bù lại mà bị pha loãng bởi số lần thử rất lớn sau đó. Mỗi lần thử mới vẫn độc lập với những lần trước.
Vì sao khảo sát vài nghìn người lại đại diện được cả nước?
Vì độ chính xác của một tỉ lệ phụ thuộc chủ yếu vào số người được hỏi, không phụ thuộc nhiều vào dân số cả nước, miễn là người được hỏi được chọn ngẫu nhiên đúng cách. Chọn sai cách thì hỏi bao nhiêu người cũng lệch.
Mẫu nhỏ có vô dụng không?
Không vô dụng, nhưng cần đọc cẩn thận. Mẫu nhỏ cho tín hiệu ban đầu, gợi ý điều cần kiểm tra thêm, nhưng không đủ để kết luận chắc chắn, nhất là khi kết quả trông rất cực đoan.
Jacob Bernoulli là ai?
Ông là nhà toán học Thuỵ Sĩ thế kỷ mười bảy, thuộc một gia đình có nhiều nhà toán học nổi tiếng. Ông có công lớn trong lý thuyết xác suất, đặc biệt với chứng minh đầu tiên của luật số lớn.
