Độ lệch chuẩn là con số đo mức độ các giá trị tản ra quanh giá trị trung bình. Hai tuyến xe buýt có thể cùng thời gian chờ trung bình mười phút, nhưng tuyến có độ lệch chuẩn lớn thì hôm chờ hai phút, hôm chờ nửa tiếng, nên người đi làm sẽ thấy nó kém tin cậy hơn hẳn dù trung bình bằng nhau.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Học sinh lớp mười học công thức độ lệch chuẩn và thường thấy nó lằng nhằng với bình phương rồi căn. Tập này mình tính tay một ví dụ thật nhỏ, giải thích vì sao lại bình phương, và chỉ ra những lúc con số này quan trọng hơn cả trung bình.
Trung bình thôi thì chưa đủ
Giả sử bạn ghi lại thời gian chờ ở hai trạm xe buýt trong sáu buổi sáng. Tuyến thứ nhất: chín, chín, mười, mười, mười một, mười một phút. Tuyến thứ hai: bốn, bốn, mười, mười, mười sáu, mười sáu phút.
Cộng lại rồi chia sáu, cả hai đều trung bình mười phút. Nếu chỉ nhìn trung bình, hai tuyến như nhau. Nhưng ai từng đi làm đều biết tuyến thứ hai mệt hơn nhiều. Bạn không biết nên ra trạm lúc nào, và có hôm trễ giờ.
Thứ khác nhau giữa hai tuyến là mức độ tản ra. Tuyến một gom sát quanh mười, tuyến hai trải rộng từ bốn tới mười sáu. Cần một con số để đo điều đó.
Cách đo đơn giản nhất là lấy giá trị lớn nhất trừ nhỏ nhất, gọi là khoảng biến thiên. Tuyến một là hai phút, tuyến hai là mười hai phút. Nhưng con số này chỉ nhìn hai giá trị cực, bỏ qua mọi thứ ở giữa. Độ lệch chuẩn thì dùng tất cả.
Tính độ lệch chuẩn từng bước
Bước một, lấy mỗi giá trị trừ trung bình. Với tuyến hai, ta được âm sáu, âm sáu, không, không, sáu, sáu. Đây là độ lệch của từng buổi so với trung bình.
Bước hai, bình phương từng độ lệch: ba mươi sáu, ba mươi sáu, không, không, ba mươi sáu, ba mươi sáu. Bước ba, lấy trung bình các bình phương: tổng một trăm bốn mươi tư chia sáu, được hai mươi bốn. Con số này gọi là phương sai.
Bước bốn, lấy căn bậc hai của phương sai, được khoảng bốn phẩy chín phút. Đó là độ lệch chuẩn của tuyến hai. Làm tương tự với tuyến một, độ lệch chỉ là âm một, không, một, phương sai bằng bốn phần sáu, độ lệch chuẩn khoảng không phẩy tám phút.
Gần năm phút so với chưa tới một phút. Con số nói đúng điều mà người đi xe buýt cảm thấy.
Vì sao phải bình phương rồi lại lấy căn?
Câu hỏi học sinh hay hỏi nhất. Nếu cộng thẳng các độ lệch, âm sáu với sáu triệt tiêu nhau, tổng luôn bằng không. Phải làm cho độ lệch âm cũng thành dương.
Có hai cách: lấy giá trị tuyệt đối, hoặc bình phương. Bình phương được chọn vì nó có nhiều tính chất toán học đẹp, tính toán thuận tiện, và gắn chặt với hình quả chuông mà mình nói ở tập trước. Nó cũng phạt nặng những độ lệch lớn, điều thường hợp ý trong thực tế.
Nhưng bình phương làm đơn vị đổi thành phút bình phương, một thứ chẳng ai hình dung được. Lấy căn bậc hai đưa đơn vị về lại phút, để so được với chính dữ liệu.
Một ghi chú cho học sinh khá: khi dữ liệu là mẫu nhỏ lấy từ một tập lớn hơn, sách thường chia cho số giá trị trừ một thay vì chia cho số giá trị. Đây là cách điều chỉnh để ước lượng không bị nhỏ hơn thật. Với mẫu lớn, hai cách cho kết quả gần nhau.
Khi độ ổn định quan trọng hơn trung bình
Người nông dân chọn giống lúa hiểu rất rõ điều này. Giả sử hai giống cùng năng suất trung bình qua nhiều vụ, nhưng một giống năm được mùa rất cao, năm gặp hạn thì sụt mạnh, giống kia năm nào cũng tương đối đều.
Với một gia đình sống nhờ ruộng, giống đều đặn thường an toàn hơn, vì một vụ mất trắng có thể làm cả nhà chao đảo, không bù được bằng một vụ bội thu. Độ lệch chuẩn nhỏ ở đây đáng giá thật sự.
Trong sản xuất, nhà máy đóng chai nước mắm, cân gạo, rót sữa đều theo dõi độ lệch chuẩn của khối lượng. Trung bình đúng chưa đủ, nếu độ tản lớn thì có chai thiếu, khách phàn nàn, có chai thừa, nhà máy lỗ.
Trong tài chính, độ lệch chuẩn của lợi nhuận được dùng làm một thước đo rủi ro. Hai khoản đầu tư cùng lời trung bình, khoản dao động mạnh hơn được coi là rủi ro hơn. Chọn khoản nào là chuyện của người tư vấn, ở đây mình chỉ nói ý nghĩa con số.
Đọc độ lệch chuẩn trong báo cáo cho đúng
Khi đọc một báo cáo có trung bình kèm độ lệch chuẩn, hãy so độ lệch chuẩn với chính trung bình. Trung bình một trăm, độ lệch chuẩn hai là rất ổn định. Trung bình mười, độ lệch chuẩn tám là rất thất thường.
Nếu dữ liệu gần hình quả chuông, bạn dùng được quy tắc ở tập trước: phần lớn giá trị nằm trong khoảng trung bình cộng trừ hai lần độ lệch chuẩn.
Nếu dữ liệu lệch một bên, độ lệch chuẩn có thể bị một vài giá trị cực lớn kéo lên. Lúc đó nên xem thêm biểu đồ, hoặc những con số như phân vị mà mình sẽ nói ở tập sau.
Câu đố nhỏ: cộng thêm năm phút vào mọi thời gian chờ của tuyến xe buýt thứ hai, trung bình thay đổi thế nào, độ lệch chuẩn thay đổi thế nào. Rồi nếu nhân đôi mọi thời gian chờ thì sao.
Câu hỏi thường gặp
Độ lệch chuẩn và phương sai khác nhau thế nào?
Phương sai là trung bình của bình phương các độ lệch so với trung bình. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, có cùng đơn vị với dữ liệu nên dễ diễn giải hơn.
Độ lệch chuẩn bằng không nghĩa là gì?
Nghĩa là mọi giá trị đều bằng nhau và bằng trung bình, không có chút tản mát nào. Ngoài đời điều này rất hiếm, trừ khi dữ liệu được đo quá thô.
Vì sao có công thức chia cho n trừ một?
Khi tính trên một mẫu nhỏ để ước lượng độ tản của cả tập lớn, chia cho số giá trị trừ một giúp bù cho việc mẫu thường trông ít tản hơn thật. Với dữ liệu là toàn bộ tập cần mô tả thì chia cho số giá trị.
Học độ lệch chuẩn ở lớp mấy?
Theo chương trình phổ thông hiện nay, học sinh học các số đặc trưng đo độ phân tán như khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp mười.
Độ lệch chuẩn lớn có phải là xấu không?
Không hẳn. Nó chỉ cho biết dữ liệu tản mát. Với thời gian chờ xe hay khối lượng sản phẩm thì tản mát là xấu, nhưng với độ đa dạng của một bộ sưu tập hay một quần thể thì tản mát có thể là điều mong muốn.
