Pi là tỉ số giữa chu vi và đường kính của một hình tròn, và tỉ số này giống hệt nhau cho mọi hình tròn, từ cái nắp chai tới vành bánh xe, xấp xỉ ba phẩy một bốn một năm chín. Chữ số của pi kéo dài mãi mà không lặp lại theo chu kỳ nào, vì pi không thể viết được thành một phân số, điều đã được chứng minh từ thế kỷ mười tám.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Tập trước về Archimedes, mình đã thấy người xưa kẹp pi giữa hai đa giác. Tập này mình nói về chính con số ấy: nó là gì, vì sao nó lì lợm không chịu dừng, và cách bạn ước lượng nó bằng một nắm tăm tre trên sàn nhà.
Vì sao mọi hình tròn có cùng một tỉ số?
Mọi hình tròn đều giống nhau về hình dạng, chỉ khác kích thước. Phóng to một hình tròn lên gấp đôi thì cả chu vi lẫn đường kính đều gấp đôi, nên tỉ số giữa chúng không đổi.
Điều này không đúng với mọi hình. Hai hình chữ nhật có thể có cùng chiều dài mà khác hẳn hình dạng. Nhưng hình tròn thì chỉ có một kiểu, nên tỉ số chu vi trên đường kính là một hằng số của vũ trụ.
Người ta đặt tên cho hằng số đó bằng chữ cái Hy Lạp pi, cách dùng chữ này phổ biến từ thế kỷ mười tám, nhờ Euler dùng rộng rãi. Nó có thể bắt nguồn từ chữ đầu của từ chu vi trong tiếng Hy Lạp.
Pi xuất hiện ở cả diện tích hình tròn, thể tích hình cầu, dao động của con lắc, sóng âm thanh. Hễ có vòng tròn hay chuyển động lặp lại ở đâu đó là có pi.
Vì sao chữ số không dừng, không lặp?
Một phân số khi viết ra số thập phân hoặc dừng lại, như một phần tư bằng không phẩy hai lăm, hoặc lặp lại mãi một nhóm chữ số, như một phần bảy bằng không phẩy một bốn hai tám năm bảy rồi lặp lại đúng nhóm ấy.
Lý do là khi chia, số dư chỉ có hữu hạn khả năng. Chia cho bảy thì số dư chỉ từ một tới sáu. Sớm muộn số dư phải lặp lại, và từ đó các chữ số lặp theo.
Vậy nếu pi là một phân số, chữ số của nó phải dừng hoặc lặp. Năm một nghìn bảy trăm sáu mươi mốt, nhà toán học Lambert chứng minh pi không phải là phân số, tức là số vô tỉ. Nên chữ số của pi không dừng, không lặp.
Hơn một thế kỷ sau, người ta còn chứng minh pi là số siêu việt, mạnh hơn cả vô tỉ. Như mình đã kể ở tập ba bài toán dựng hình, chính điều này khiến việc cầu phương hình tròn là không thể.
Cần bao nhiêu chữ số pi là đủ?
Máy tính ngày nay đã tính pi tới hàng chục nghìn tỉ chữ số. Nhưng để dùng thì cần ít hơn nhiều. Ba phẩy mười bốn đủ cho bài tập ở trường. Ba phẩy một bốn một năm chín đủ cho hầu hết công việc kỹ thuật thường ngày.
Người ta hay nói rằng các phép tính cho tàu vũ trụ bay xa cũng chỉ dùng khoảng mười lăm chữ số sau dấu phẩy. Với chừng ấy chữ số, sai số khi tính chu vi một quỹ đạo khổng lồ cũng chỉ còn cỡ milimét.
Vậy tính tới hàng nghìn tỉ chữ số để làm gì. Chủ yếu để thử sức máy tính và kiểm tra thuật toán mới, như một bài kiểm tra sức bền. Nếu hai cách tính khác nhau cho cùng kết quả tới hàng tỉ chữ số, cả máy lẫn phương pháp đều đáng tin.
Có người thi học thuộc pi tới hàng chục nghìn chữ số. Đó là một môn thể thao trí nhớ thú vị, nhưng không làm ai giỏi toán hơn. Hiểu pi là gì đáng giá hơn thuộc nhiều chữ số.
Ước lượng pi bằng tăm tre trên sàn gỗ
Thế kỷ mười tám, nhà khoa học Pháp Buffon đặt ra một bài toán xác suất mà đáp án có chứa pi. Bạn làm lại được ở nhà, chỉ cần một sàn gỗ có các khe song song cách đều, và một nắm tăm dài đúng bằng khoảng cách giữa hai khe.
Thả tăm ngẫu nhiên xuống sàn, đếm xem bao nhiêu cái cắt qua khe. Toán học chứng minh rằng khi tăm dài bằng khoảng cách khe, tỉ lệ tăm cắt khe tiến tới hai chia cho pi, tức khoảng sáu mươi ba phần trăm.
Vậy pi xấp xỉ bằng hai nhân tổng số tăm đã thả, chia cho số tăm cắt khe. Thả một trăm cái, bạn được một con số loáng thoáng quanh ba. Thả vài nghìn cái, cả nhà cùng đếm, con số sẽ nhích dần tới ba phẩy mười bốn.
Thí nghiệm này hay ở chỗ pi xuất hiện từ một trò chơi may rủi, chẳng có hình tròn nào cả. Lý do là mỗi cây tăm rơi xuống có thể nằm nghiêng theo mọi góc, và các góc quay chính là chỗ vòng tròn ẩn mình.
Pi có chứa ngày sinh của bạn không?
Trên mạng hay có câu: chữ số của pi chứa mọi dãy số, nên ngày sinh, số điện thoại của bạn đều nằm đâu đó trong pi. Thật ra, chưa ai chứng minh được điều đó.
Các nhà toán học tin rằng pi là một số chuẩn, nghĩa là mọi dãy chữ số đều xuất hiện với tần suất đều nhau. Kiểm tra trên hàng nghìn tỉ chữ số đầu cho thấy đúng là các chữ số phân bố rất đều. Nhưng tin và chứng minh là hai chuyện, như bạn đã quen với chuỗi bài này.
Với ngày sinh sáu chữ số thì rất nhiều khả năng bạn sẽ tìm thấy trong vài triệu chữ số đầu, đơn giản vì có nhiều chỗ để thử. Điều đó dựa trên xác suất chứ không phải trên định lý.
Câu đố nhỏ cho ngày mười bốn tháng ba, ngày mà nhiều trường học trên thế giới gọi là ngày số pi: một sợi dây quấn sát quanh xích đạo Trái Đất, nếu nối dài thêm một mét rồi nâng đều lên, khe hở giữa dây và mặt đất cao chừng bao nhiêu. Đáp án làm nhiều người bất ngờ.
Câu hỏi thường gặp
Pi bằng ba phẩy mười bốn có đúng không?
Đó là giá trị làm tròn tới hai chữ số thập phân, đủ cho bài tập phổ thông. Pi thật sự có vô số chữ số không lặp lại, bắt đầu bằng ba phẩy một bốn một năm chín hai sáu.
Ai chứng minh pi là số vô tỉ?
Nhà toán học Johann Heinrich Lambert chứng minh điều này năm một nghìn bảy trăm sáu mươi mốt. Năm một nghìn tám trăm tám mươi hai, Lindemann chứng minh pi còn là số siêu việt.
Vì sao ngày mười bốn tháng ba là ngày số pi?
Vì theo cách viết tháng trước ngày sau của một số nước, ngày đó được viết bằng ba và mười bốn, giống ba chữ số đầu của pi. Ngày này trùng với ngày sinh của Einstein, nên càng hay được nhắc tới.
Số vô tỉ khác số thập phân vô hạn tuần hoàn thế nào?
Số thập phân vô hạn tuần hoàn có nhóm chữ số lặp lại mãi và luôn viết được thành phân số, như một phần ba. Số vô tỉ có chữ số vô hạn không theo chu kỳ nào và không viết được thành phân số, như pi hay căn bậc hai của hai.
Có cách nào nhớ vài chữ số đầu của pi?
Nhiều người dùng câu có số chữ cái của mỗi từ bằng các chữ số của pi. Cách đơn giản nhất cho học sinh là nhớ cụm ba phẩy một bốn một năm chín hai sáu theo nhịp như nhớ một số điện thoại.
