Dãy Fibonacci thật sự có mặt trong cách hạt hướng dương, vảy quả thông hay mắt quả dứa xếp thành các vòng xoắn, vì đó là cách xếp dày nhất khi cây mọc ra từng hạt một quanh tâm. Còn những lời đồn rằng tỉ lệ vàng nằm trong tranh danh hoạ, đền cổ Hy Lạp hay khuôn mặt người đẹp thì phần lớn là thổi phồng, đo kỹ là thấy không khớp.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Ít con số nào được ca tụng nhiều như dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng. Tập này mình giữ lấy phần thật, vốn đã đủ đẹp, và gỡ bỏ phần huyền thoại, để lần sau bạn đọc một bài viết về chúng mà không bị dắt mũi.
Dãy Fibonacci bắt đầu từ bài toán con thỏ
Trong cuốn sách năm một nghìn hai trăm lẻ hai mà mình đã kể ở tập về chữ số, Fibonacci đặt một bài toán. Một đôi thỏ, sau một tháng thì trưởng thành, từ đó mỗi tháng đẻ ra một đôi mới, và thỏ không bao giờ chết. Hỏi sau một năm có bao nhiêu đôi.
Đếm từng tháng, bạn được dãy một, một, hai, ba, năm, tám, mười ba, hai mươi mốt, ba mươi tư, năm mươi lăm. Mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước nó. Lý do: số đôi tháng này bằng số đôi tháng trước, cộng số đôi mới sinh, mà số đôi mới sinh bằng số đôi đã trưởng thành, tức số đôi của hai tháng trước.
Tất nhiên thỏ thật không sống mãi và không đẻ đều đặn như vậy. Bài toán chỉ là bài tập, không phải sinh học. Nhưng quy luật cộng hai số trước hoá ra xuất hiện ở rất nhiều nơi khác.
Ví dụ, có bao nhiêu cách leo một cầu thang mười bậc nếu mỗi bước leo một hoặc hai bậc. Đáp án cũng là một số Fibonacci. Bạn thử đếm cho cầu thang ba, bốn bậc rồi đoán.
Hạt hướng dương xếp theo số Fibonacci thật
Nhìn kỹ một bông hướng dương lớn, bạn sẽ thấy hạt xếp thành những đường xoắn, một nhóm xoắn theo chiều kim đồng hồ, một nhóm xoắn ngược lại. Đếm số đường xoắn mỗi chiều, rất thường gặp hai số liền nhau trong dãy Fibonacci, như ba mươi tư và năm mươi lăm.
Quả thông và quả dứa cũng vậy, thường là tám và mười ba. Đây là điều đo được, ai cũng tự kiểm được bằng một quả dứa ngoài chợ.
Vì sao lại thế. Cây mọc hạt mới ở tâm, mỗi hạt mới xoay đi một góc so với hạt trước. Nếu góc xoay là một phân số tròn của vòng tròn, hạt sẽ xếp thành những tia thẳng và để hở nhiều chỗ trống. Góc xếp chặt nhất là khoảng một trăm ba mươi bảy phẩy năm độ, gọi là góc vàng.
Với góc vàng, các hạt tự xếp thành những vòng xoắn có số lượng là số Fibonacci. Cây không biết đếm, nó chỉ làm theo một cơ chế sinh học đơn giản, và toán học giải thích vì sao kết quả đẹp như vậy. Dù vậy cũng có những bông không theo đúng quy luật, tự nhiên không hoàn hảo.
Tỉ lệ vàng là gì?
Lấy một số Fibonacci chia cho số đứng trước nó. Tám chia năm bằng một phẩy sáu. Mười ba chia tám bằng một phẩy sáu hai lăm. Năm mươi lăm chia ba mươi tư bằng khoảng một phẩy sáu một tám. Các tỉ số này tiến dần tới một con số, khoảng một phẩy sáu một tám.
Con số đó gọi là tỉ lệ vàng. Nó có tính chất lạ: bình phương nó lên bằng chính nó cộng một. Và nó là một số vô tỉ, giống căn hai.
Hình học định nghĩa nó thế này: chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho cả đoạn chia phần dài bằng phần dài chia phần ngắn. Tỉ số đó chính là tỉ lệ vàng. Euclid đã bàn tới phép chia này trong bộ Cơ sở.
Tỉ lệ vàng xuất hiện tự nhiên trong hình ngũ giác đều: đường chéo chia cạnh đúng bằng tỉ lệ vàng. Đây cũng là điều chắc chắn, chứng minh được.
Những lời đồn cần gỡ bỏ
Lời đồn thứ nhất: đền Parthenon ở Hy Lạp được xây theo tỉ lệ vàng. Khi đo thật, tuỳ chọn điểm đo mà ra đủ thứ tỉ số, và không có tài liệu cổ nào cho thấy người xây cố ý dùng tỉ lệ này.
Lời đồn thứ hai: danh hoạ thời Phục hưng vẽ theo tỉ lệ vàng. Phần lớn các hình chữ nhật vàng vẽ chồng lên tranh trên mạng được đặt khá tuỳ tiện, xê dịch vài milimét là khớp kiểu gì cũng được.
Lời đồn thứ ba: vỏ ốc anh vũ xoắn theo tỉ lệ vàng. Đo thực tế, đường xoắn của nó nở nhanh theo một tỉ lệ khác hẳn. Nó vẫn là đường xoắn đều rất đẹp, chỉ không phải xoắn vàng.
Lời đồn thứ tư: khuôn mặt đẹp nhất là khuôn mặt theo tỉ lệ vàng. Các nghiên cứu về cảm nhận cái đẹp không ủng hộ một con số thần kỳ nào như vậy. Khi thấy ai bán khoá học hay sản phẩm dựa trên tỉ lệ vàng, hãy giữ ví cẩn thận.
Vì sao huyền thoại này dai dẳng?
Vì con người thích tìm quy luật, và một con số có tên đẹp như tỉ lệ vàng rất dễ được gán cho mọi thứ đẹp. Khi có ý định tìm, gần như mình luôn tìm thấy, bởi một phẩy sáu nằm gần rất nhiều tỉ số bình thường.
Một hình chữ nhật dài gấp rưỡi chiều rộng hay dài gấp một phẩy bảy cũng nhìn khá cân đối. Không có bằng chứng mắt người ưu ái riêng một phẩy sáu một tám.
Bài học ở đây rộng hơn chuyện tỉ lệ vàng: một khẳng định toán học có thể được kiểm, và nên được kiểm, bằng đo đạc thật. Phần đứng vững sau khi đo, như hướng dương hay ngũ giác đều, mới đáng giữ lại.
Câu đố nhỏ: lấy hai số Fibonacci liền nhau bất kỳ, bình phương số ở giữa trừ đi tích của hai số bên cạnh nó. Ví dụ tám bình phương trừ năm nhân mười ba. Thử vài lần, bạn thấy kết quả lạ ở chỗ nào.
Câu hỏi thường gặp
Dãy Fibonacci là gì?
Đó là dãy số bắt đầu bằng một, một, mỗi số tiếp theo bằng tổng hai số đứng trước: hai, ba, năm, tám, mười ba và cứ thế. Một số sách bắt đầu dãy bằng không và một, quy luật không đổi.
Tỉ lệ vàng bằng bao nhiêu?
Tỉ lệ vàng xấp xỉ một phẩy sáu một tám, chính xác bằng một cộng căn bậc hai của năm, tất cả chia cho hai. Nó là số vô tỉ nên chữ số kéo dài mãi không lặp.
Có phải hoa nào cũng có số cánh là số Fibonacci?
Không. Nhiều loài hoa có ba, năm hoặc tám cánh, nhưng cũng có nhiều loài có bốn hoặc sáu cánh. Quy luật Fibonacci rõ nhất ở cách xếp hạt, vảy và lá theo vòng xoắn, còn số cánh hoa thì có nhiều ngoại lệ.
Góc vàng là gì?
Góc vàng là phần chia vòng tròn theo tỉ lệ vàng, khoảng một trăm ba mươi bảy phẩy năm độ. Khi mỗi hạt mới xoay đi đúng góc này so với hạt trước, các hạt xếp chặt nhất và hiện lên thành những vòng xoắn theo số Fibonacci.
Thiết kế logo theo tỉ lệ vàng có làm logo đẹp hơn không?
Không có bằng chứng rằng tỉ lệ vàng tự làm cho thiết kế đẹp hơn. Nó có thể là một gợi ý bố cục hữu ích, giống nhiều tỉ lệ khác, nhưng cái đẹp đến từ tổng thể thiết kế chứ không từ một con số.
