Âm nhân âm ra dương vì đó là cách duy nhất để những quy tắc nhân mà mình đã dùng quen, nhất là quy tắc nhân một số với một tổng, tiếp tục đúng khi có số âm. Nếu đặt âm nhân âm ra âm, cả toà nhà số học sẽ có chỗ nứt. Tập này mình chỉ ra chỗ nứt đó bằng ba cách nhìn khác nhau.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Học sinh lớp sáu thường được dặn thuộc quy tắc dấu như thuộc bảng cửu chương. Thuộc thì cũng tốt, nhưng hiểu thì nhớ lâu hơn và đỡ nhầm hơn. Mình bắt đầu từ một câu hỏi ngược: số âm từ đâu ra.
Số âm từ đâu ra, và vì sao từng bị coi là vô lý?
Trong sách toán cổ Trung Hoa Cửu chương toán thuật, người ta đã dùng que tính màu đỏ cho số dương và màu đen cho số âm, cùng các quy tắc cộng trừ chúng, phục vụ việc giải các bài toán về thu chi.
Các nhà toán học Ấn Độ thời trung đại hiểu số âm như món nợ, số dương như tài sản, và viết ra quy tắc tính với chúng. Brahmagupta, người mà mình nhắc ở tập số không, có cả quy tắc nợ nhân nợ.
Ở châu Âu, số âm bị nghi ngờ rất lâu. Nhiều nhà toán học tới tận thế kỷ mười sáu, mười bảy vẫn gọi nghiệm âm của phương trình là nghiệm giả hay vô lý, vì không thể có ít hơn không quả táo.
Câu chuyện này cho thấy số âm không phải điều hiển nhiên. Nó là một phát minh, một cách mở rộng con số để giải được nhiều bài toán hơn.
Cách nhìn thứ nhất: theo quy luật của dãy số
Viết ra một dãy phép nhân với âm hai. Ba nhân âm hai bằng âm sáu. Hai nhân âm hai bằng âm bốn. Một nhân âm hai bằng âm hai. Không nhân âm hai bằng không. Mỗi lần thừa số đầu giảm một, kết quả tăng thêm hai.
Giữ nguyên quy luật đó và đi tiếp. Âm một nhân âm hai phải bằng không cộng hai, tức là hai. Âm hai nhân âm hai bằng bốn. Kết quả ra số dương.
Nếu bạn muốn âm nhân âm ra âm, dãy số đang tăng đều đặn bỗng phải gãy khúc và rơi xuống ngay tại số không. Không có lý do nào để nó gãy ở đó.
Đây không phải chứng minh chặt chẽ, nhưng là cách cảm nhận rất tốt cho học sinh: quy tắc dấu chỉ là việc để quy luật tiếp tục chạy đều.
Cách nhìn thứ hai: chuyện xoá nợ
Coi số dương là tiền có, số âm là tiền nợ. Nhân với số dương là thêm vào nhiều lần, nhân với số âm là bớt đi nhiều lần.
Bạn đang có ba khoản nợ, mỗi khoản hai trăm nghìn. Ba nhân âm hai trăm nghìn là âm sáu trăm nghìn, tức bạn nghèo đi sáu trăm nghìn. Dễ hiểu.
Giờ người cho vay xoá đi ba khoản nợ đó. Xoá là bớt đi, tức nhân với âm ba. Bớt đi ba khoản nợ hai trăm nghìn, tức âm ba nhân âm hai trăm nghìn, làm bạn giàu lên sáu trăm nghìn so với trước. Kết quả dương.
Câu chuyện này giải thích được vì sao người Ấn Độ xưa nói nợ nhân nợ thành tài sản. Bỏ đi một thứ xấu thì thành tốt.
Cách nhìn thứ ba: quy tắc phân phối không được gãy
Cách chặt chẽ nhất dành cho học sinh khá. Mình biết một số nhân với một tổng thì bằng tổng các tích. Ví dụ hai nhân ba cộng bốn bằng hai nhân ba cộng hai nhân bốn.
Xét âm một nhân với tổng của một và âm một. Tổng một cộng âm một bằng không, nên cả tích bằng không.
Mặt khác, theo quy tắc phân phối, tích ấy bằng âm một nhân một, cộng với âm một nhân âm một. Âm một nhân một bằng âm một. Vậy âm một cộng với âm một nhân âm một phải bằng không. Chỉ có một khả năng: âm một nhân âm một bằng một.
Đó là lý do toán học không có lựa chọn nào khác. Quy tắc dấu không phải do ai đó quyết định cho vui, mà là hệ quả bắt buộc của những quy tắc mình đã chấp nhận từ trước.
Lỗi hay gặp và cách giúp con nhớ
Lỗi phổ biến nhất là lẫn quy tắc nhân với quy tắc cộng. Âm ba cộng âm hai bằng âm năm, không phải dương năm. Hai âm cộng nhau vẫn âm, chỉ khi nhân hay chia mới đổi dấu.
Lỗi thứ hai là bình phương số âm trên máy tính. Gõ âm ba bình phương có thể ra âm chín nếu máy hiểu là lấy ba bình phương rồi đổi dấu. Muốn bình phương cả số âm phải đặt cả số vào trong nhóm.
Với con nhỏ, ví dụ đời thường dễ nhớ nhất là thang máy có tầng hầm, hay nhiệt độ trên đỉnh núi phía Bắc những đợt rét đậm, có lúc xuống dưới không độ. Số âm ở đó không còn xa lạ.
Câu đố cho bạn: một đoạn phim quay người đi lùi, nếu đem tua ngược thì trên màn hình người đó đi tới hay đi lùi. Thử dùng câu đố này giải thích âm nhân âm cho một em học sinh xem sao.
Câu hỏi thường gặp
Âm chia âm có ra dương không?
Có. Phép chia tuân theo cùng quy tắc dấu với phép nhân, vì chia là phép ngược của nhân. Âm sáu chia âm hai bằng ba, vì ba nhân âm hai bằng âm sáu.
Học số âm ở lớp mấy?
Theo chương trình phổ thông hiện nay, học sinh học số nguyên âm ở lớp sáu, gồm cộng, trừ, nhân, chia số nguyên. Đây là lúc nên giải thích vì sao thay vì chỉ cho thuộc quy tắc.
Bình phương của một số âm có âm không?
Không. Bình phương của mọi số khác không đều dương, vì số âm nhân số âm ra dương. Đó cũng là lý do trong tập số thực, không có số nào bình phương lên ra số âm.
Số âm có trong đời sống ở đâu?
Số âm xuất hiện ở nhiệt độ dưới không độ, tầng hầm trong thang máy, số dư tài khoản khi chi vượt, độ cao dưới mực nước biển, và điểm trừ trong các trò chơi.
Vì sao có người nói quy tắc dấu chỉ là quy ước?
Theo một nghĩa, toán học có thể chọn quy tắc khác. Nhưng nếu muốn giữ các tính chất quen thuộc như quy tắc phân phối thì âm nhân âm buộc phải ra dương. Nên đó là quy ước duy nhất hợp lý, không phải tuỳ ý.
