Số không đã đi một chặng đường dài, từ một dấu đánh chỗ trống trong cách viết số tới một con số thật có quy tắc tính toán riêng, và các nhà toán học Ấn Độ là những người đầu tiên làm điều đó một cách có hệ thống. Còn phép chia cho không thì không có nghĩa, vì không tồn tại con số nào nhân với không mà ra được một số khác không.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Học sinh nào cũng từng nghe thầy dặn không được chia cho không, nhưng ít ai được giải thích vì sao. Tập này mình kể chuyện số không ra đời, rồi trả lời câu hỏi vì sao bằng một phép thử mà bạn tự làm được.
Trước khi có số không, người ta viết số thế nào?
Nhiều nền văn minh cổ đếm và tính rất giỏi mà không có số không. Người La Mã viết số bằng chữ cái, không cần số không vì mỗi ký hiệu có giá trị cố định. Người xưa ở nhiều nơi tính toán bằng que tính hay bàn tính, chỗ trống cứ để trống.
Rắc rối xuất hiện khi viết số theo vị trí. Người Babylon cổ ghi số trên đất sét theo vị trí, và có lúc họ không phân biệt được hai số chỉ khác nhau ở một chỗ trống. Về sau họ dùng một dấu riêng để đánh chỗ trống ở giữa số.
Người Maya ở châu Mỹ cũng độc lập tạo ra ký hiệu cho số không trong hệ lịch của họ. Nhưng ở những nơi này, số không chủ yếu là dấu giữ chỗ, chưa phải con số để đem đi cộng trừ.
Giữ chỗ và làm một con số là hai việc rất khác nhau. Bước thứ hai mới là bước nhảy lớn.
Ấn Độ biến số không thành một con số thật
Vào thế kỷ thứ bảy, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta viết ra các quy tắc tính với số không: một số cộng không thì giữ nguyên, một số trừ chính nó thì bằng không, một số nhân với không thì bằng không. Số không lần đầu được đối xử như mọi con số khác.
Brahmagupta cũng thử nói về phép chia cho không, và ở chỗ này các quy tắc của ông chưa đứng vững theo cách hiểu ngày nay. Điều đó dễ hiểu: đây chính là chỗ khó nhất.
Từ Ấn Độ, số không theo các chữ số khác sang thế giới Ả Rập rồi sang châu Âu, như mình đã kể ở tập về Al-Khwarizmi và Fibonacci. Chữ zero trong nhiều ngôn ngữ châu Âu bắt nguồn từ chữ Ả Rập nghĩa là trống rỗng.
Có thể nói, nhờ có số không như một con số, đại số mới chạy được. Không có nó, ngay cả một phương trình đơn giản như x trừ x cũng không có kết quả để viết.
Vì sao không chia được cho không?
Phép chia là phép ngược của phép nhân. Nói sáu chia hai bằng ba, nghĩa là ba nhân hai bằng sáu. Muốn kiểm một phép chia, mình nhân ngược lại.
Giờ thử sáu chia không bằng bao nhiêu. Gọi kết quả là một số nào đó, thì số đó nhân với không phải bằng sáu. Nhưng bất kỳ số nào nhân với không cũng bằng không, không bao giờ ra sáu. Vậy không có kết quả nào cả.
Còn không chia không thì sao. Lần này số cần tìm nhân với không phải bằng không, mà số nào cũng thoả. Ba, bảy, một triệu đều được. Có quá nhiều đáp án, nên cũng không chọn được một kết quả.
Một trường hợp thiếu đáp án, một trường hợp thừa đáp án. Cả hai đều làm phép chia mất nghĩa. Vì thế toán học nói phép chia cho không không được định nghĩa, chứ không phải bằng vô cực như nhiều người nghĩ.
Thử nghĩ bằng chia kẹo
Với học sinh nhỏ, có cách giải thích bằng đời thường. Sáu cái kẹo chia đều cho hai bạn, mỗi bạn ba cái. Chia cho một bạn, bạn đó được sáu cái. Chia cho không bạn nào thì sao. Câu hỏi mỗi bạn được bao nhiêu không còn nghĩa, vì chẳng có bạn nào.
Một cách khác là nhìn phép chia như đếm xem trừ được bao nhiêu lần. Sáu trừ hai, trừ hai, trừ hai là hết, ba lần. Sáu trừ không, trừ không, trừ mãi vẫn còn sáu, không bao giờ hết. Đếm không có điểm dừng.
Cách nhìn thứ hai giải thích vì sao nhiều người liên tưởng tới vô cực. Khi chia cho một số càng lúc càng nhỏ, kết quả càng lúc càng lớn. Nhưng chia cho số nhỏ dương thì ra số lớn dương, chia cho số nhỏ âm thì ra số lớn âm. Hai phía chạy về hai hướng ngược nhau, nên không có một giá trị chung nào.
Máy tính bỏ túi báo lỗi khi bạn chia cho không không phải vì máy kém, mà vì nó trung thực.
Số không và những chỗ lúng túng ngoài đời
Lịch mình dùng không có năm không. Năm một trước Công nguyên đi liền sang năm một sau Công nguyên. Vì vậy thế kỷ hai mươi mốt thật ra bắt đầu từ năm hai nghìn lẻ một, không phải năm hai nghìn, một chuyện từng làm người ta cãi nhau quanh năm hai nghìn.
Tầng nhà cũng vậy. Ở nhiều nơi miền Nam, người ta gọi tầng sát đất là tầng trệt rồi mới tới lầu một, còn miền Bắc thường gọi luôn là tầng một. Thực chất tầng trệt chính là tầng không, và hai cách đếm này làm không ít người giao hàng đi nhầm.
Số không là số chẵn, vì nó chia hết cho hai. Câu hỏi này nghe ngớ ngẩn nhưng từng gây tranh cãi trong các lớp học, và cả trong những quy định chạy xe theo biển số chẵn lẻ ở một số nước.
Câu đố nhỏ: không mũ không bằng bao nhiêu. Các nhà toán học có câu trả lời quy ước trong nhiều trường hợp, và thú vị là nó cũng gây tranh cãi y như phép chia cho không. Bạn thử đoán xem.
Câu hỏi thường gặp
Không chia cho một số khác không bằng bao nhiêu?
Bằng không. Ví dụ không chia năm bằng không, vì không nhân năm bằng không. Chỉ có phép chia mà số chia là không mới không có nghĩa.
Số không là số tự nhiên không?
Theo chương trình phổ thông Việt Nam hiện nay, số không thuộc tập hợp số tự nhiên. Ở một số tài liệu nước ngoài, số tự nhiên bắt đầu từ một, nên khi đọc cần để ý định nghĩa của từng sách.
Ai phát minh ra số không?
Không có một người duy nhất. Nhiều nền văn minh dùng dấu giữ chỗ trống, còn việc coi số không là một con số có quy tắc tính toán được ghi nhận rõ nhất trong toán học Ấn Độ, tiêu biểu là Brahmagupta ở thế kỷ thứ bảy.
Chia cho không có bằng vô cực không?
Không. Vô cực không phải một con số thông thường, và phép chia cho không không được định nghĩa. Trong giải tích, người ta nói về giới hạn khi số chia tiến tới không, đó là một khái niệm khác.
Vì sao máy tính báo lỗi khi chia cho không?
Vì phép tính không có kết quả hợp lệ. Một số phần mềm hiện ra ký hiệu riêng thay vì báo lỗi, nhưng đó chỉ là cách đánh dấu rằng phép tính không có nghĩa, không phải một đáp số.
