Phân phối chuẩn là đường cong hình quả chuông, cao ở giữa và thoải dần về hai bên, xuất hiện khi một đại lượng là kết quả cộng dồn của rất nhiều tác động nhỏ và độc lập. Bảng Galton, nơi những viên bi nảy trái nảy phải qua các hàng đinh rồi chồng lên thành hình chuông, cho thấy điều đó tận mắt. Nhưng không phải thứ gì ngoài đời cũng có hình chuông, và nhầm chỗ này rất dễ sai.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hình quả chuông có lẽ là hình vẽ nổi tiếng nhất của thống kê. Tập này mình kể vì sao nó xuất hiện, cách bạn tự dựng một bảng Galton bằng gỗ và đinh, và vì sao thu nhập hay số người theo dõi trên mạng thì không theo nó.
Bảng Galton: những viên bi kể chuyện
Nhà khoa học Anh Francis Galton ở thế kỷ mười chín làm một dụng cụ đơn giản. Một tấm bảng đứng, đóng nhiều hàng đinh so le. Thả bi từ đỉnh, mỗi lần chạm đinh, bi nảy sang trái hoặc phải, gần như ngẫu nhiên. Dưới đáy là các ngăn hứng bi.
Thả vài trăm viên, bạn sẽ thấy bi dồn nhiều ở các ngăn giữa, thưa dần về hai bên, tạo thành đúng hình quả chuông. Thả lại lần nữa, hình dạng gần như y hệt.
Vì sao giữa đông nhất. Một viên bi muốn rơi vào ngăn ngoài cùng bên trái thì phải nảy trái ở mọi cây đinh, chỉ có một đường đi duy nhất. Muốn rơi vào ngăn giữa thì có rất nhiều cách trộn trái phải. Nhiều đường đi dẫn tới giữa, ít đường đi dẫn ra rìa.
Bạn có thể tự làm bảng này với một tấm gỗ ép, vài chục cây đinh và một nắm bi ve. Đây là đồ chơi khoa học rất hợp cho học sinh cấp hai làm trong một buổi chiều cuối tuần.
Định lý giới hạn trung tâm nói gì?
Bảng Galton là hình ảnh của một định lý lớn, gọi là định lý giới hạn trung tâm. Nói dễ hiểu: khi cộng rất nhiều đại lượng ngẫu nhiên nhỏ, độc lập, thì tổng của chúng có phân phối gần hình chuông, bất kể từng đại lượng nhỏ có hình dạng ra sao.
Mỗi cây đinh là một tác động nhỏ, đẩy trái hay đẩy phải. Vị trí cuối cùng của viên bi là tổng của tất cả những cú đẩy đó. Vậy là ra hình chuông.
Chiều cao người cũng gần như vậy: là kết quả của rất nhiều gen, mỗi gen góp một chút, cộng với dinh dưỡng, giấc ngủ, vận động. Chiều cao người trưởng thành cùng giới trong một cộng đồng thường có dạng gần hình chuông.
Sai số đo đạc cũng thế. Mỗi lần đo bị ảnh hưởng bởi tay run, mắt đọc, nhiệt độ, nên các lần đo lặp lại tản ra quanh giá trị thật theo hình chuông. Chính Gauss dùng hình chuông để xử lý sai số khi tính quỹ đạo thiên thể, nên nhiều nơi gọi nó là đường cong Gauss.
Quy tắc sáu tám, chín lăm, chín chín bảy
Hình chuông có hai thông số: điểm giữa, tức giá trị trung bình, và độ rộng, đo bằng độ lệch chuẩn mà mình sẽ nói kỹ ở tập sau. Biết hai thứ đó là biết cả hình chuông.
Có một quy tắc dễ nhớ. Khoảng sáu mươi tám phần trăm giá trị nằm trong một độ lệch chuẩn quanh trung bình. Khoảng chín mươi lăm phần trăm nằm trong hai độ lệch chuẩn. Khoảng chín mươi chín phẩy bảy phần trăm nằm trong ba độ lệch chuẩn.
Ví dụ giả định: chiều cao nam trưởng thành ở một nơi có trung bình một mét sáu mươi tám, độ lệch chuẩn sáu phân. Vậy khoảng hai phần ba số người cao từ một mét sáu mươi hai tới một mét bảy mươi tư, và chỉ rất ít người cao vượt một mét tám mươi.
Quy tắc này cho bạn trực giác về mức độ hiếm. Cái gì nằm ngoài ba độ lệch chuẩn thì cứ khoảng ba trăm bảy mươi lần mới gặp một lần, nếu dữ liệu đúng là hình chuông.
Không phải cái gì cũng hình chuông
Đây là phần quan trọng nhất. Hình chuông chỉ xuất hiện khi các tác động cộng vào nhau và không có tác động nào áp đảo. Khi các tác động nhân lên nhau, hoặc giàu thì dễ giàu thêm, hình dạng sẽ khác hẳn.
Thu nhập là ví dụ điển hình. Phần lớn người có thu nhập ở mức thấp và trung bình, còn một số ít người có thu nhập cao gấp hàng trăm lần. Biểu đồ lệch hẳn về một bên với cái đuôi rất dài. Dùng quy tắc hình chuông ở đây sẽ đánh giá thấp nghiêm trọng số người cực giàu.
Số người theo dõi các tài khoản mạng xã hội, doanh số các cuốn sách, quy mô các thành phố cũng vậy: một vài cái khổng lồ, rất nhiều cái nhỏ.
Thiên tai cũng thế. Những trận lũ lớn bất thường xảy ra thường hơn những gì một hình chuông dự báo. Người làm thuỷ lợi và bảo hiểm phải dùng những mô hình khác, vì tin vào hình chuông ở đây có thể trả giá rất đắt.
Đọc biểu đồ dữ liệu như thế nào cho tỉnh?
Trước khi dùng bất kỳ công thức nào dựa trên hình chuông, hãy vẽ dữ liệu ra. Dạng biểu đồ cột đơn giản đã đủ cho thấy dữ liệu cân hai bên hay lệch một bên, có một đỉnh hay hai đỉnh.
Hai đỉnh thường là dấu hiệu dữ liệu gộp từ hai nhóm khác nhau. Ví dụ chiều cao của cả nam và nữ gộp chung có thể cho một hình bè ra hoặc hai bướu, vì hai nhóm có trung bình khác nhau.
Khi đọc một bài báo nói rằng người này nằm trong nhóm một phần trăm cao nhất, hãy hỏi người viết đang giả sử hình dạng gì. Với dữ liệu lệch, những câu như vậy có thể sai rất xa.
Câu đố nhỏ: tổng số chấm khi gieo hai con xúc xắc có hình gì nếu vẽ thành biểu đồ. Gieo ba con thì sao. Thử nghĩ xem nó có giống bảng Galton không.
Câu hỏi thường gặp
Phân phối chuẩn còn gọi là gì?
Nó còn được gọi là phân phối Gauss hay đường cong hình chuông. Tên Gauss gắn với nó vì ông dùng đường cong này trong việc xử lý sai số đo đạc thiên văn.
Điểm thi có theo phân phối chuẩn không?
Điểm thi của một nhóm lớn học sinh đôi khi gần hình chuông, nhưng thường lệch, tuỳ đề dễ hay khó. Đề quá dễ làm điểm dồn về phía cao, đề quá khó làm điểm dồn về phía thấp.
Định lý giới hạn trung tâm có dùng ngoài đời không?
Có, rất nhiều. Nó là lý do người ta dùng được các công thức sai số trong khảo sát, kiểm tra chất lượng sản phẩm, đo lường khoa học. Nó cho phép suy luận về trung bình của mẫu ngay cả khi dữ liệu gốc không có hình chuông.
Vì sao thu nhập không theo hình chuông?
Vì thu nhập không phải tổng của nhiều tác động nhỏ ngang nhau. Có những yếu tố nhân lên nhau như vốn sinh lời, và có hiện tượng người đã có nhiều dễ có thêm nhiều, tạo ra một cái đuôi rất dài về phía thu nhập cao.
Tự làm bảng Galton cần những gì?
Cần một tấm gỗ hoặc bìa cứng, đinh hoặc tăm cắm thành các hàng so le, các vách ngăn ở dưới đáy, và vài trăm viên bi nhỏ hoặc hạt đậu. Nên làm có người lớn hướng dẫn khi dùng búa và đinh.
