Căn bậc hai của hai, tức độ dài đường chéo của hình vuông cạnh một, không thể viết thành một phân số, vì nếu viết được thì cả tử số lẫn mẫu số đều buộc phải là số chẵn, trái với việc phân số ấy đã được rút gọn tới cùng. Lập luận chỉ dài vài dòng, nhưng nó từng làm lung lay cả một cách nhìn thế giới của người Hy Lạp cổ.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Ở tập về phản chứng, mình đã hẹn sẽ quay lại với căn hai. Tập này mình đi từng bước chứng minh cho thật chậm, kể giai thoại quanh nó, và chỉ cho bạn căn hai đang nằm ngay trên tờ giấy bạn in mỗi ngày.
Đường chéo hình vuông và niềm tin của trường phái Pythagoras
Trường phái của Pythagoras ở Hy Lạp cổ tin rằng mọi thứ trong vũ trụ có thể diễn tả bằng tỉ số của các số nguyên. Âm nhạc hài hoà vì độ dài dây đàn theo tỉ số đẹp, và họ nghĩ mọi độ dài cũng vậy.
Rồi có người xét hình vuông cạnh một. Theo định lý Pythagoras, đường chéo bình phương bằng một cộng một, bằng hai. Vậy đường chéo dài căn bậc hai của hai. Câu hỏi là nó bằng tỉ số của hai số nguyên nào.
Hoá ra không có tỉ số nào cả. Đường chéo và cạnh của hình vuông là hai độ dài không có đơn vị chung, dù chia nhỏ tới đâu cũng không đo vừa khít cả hai.
Có giai thoại kể rằng người phát hiện, thường được gọi là Hippasus, đã bị dìm xuống biển vì tiết lộ bí mật. Chuyện này không có bằng chứng chắc chắn, và nhiều sử gia coi là truyền thuyết. Nhưng nó nói lên phát hiện ấy gây chấn động thế nào.
Chứng minh từng bước cho thật chậm
Giả sử căn hai bằng một phân số a chia b, đã rút gọn tới cùng, nghĩa là a và b không còn ước chung nào ngoài một. Bình phương hai vế, ta có a bình phương bằng hai lần b bình phương.
Vế phải là hai nhân một số, nên a bình phương là số chẵn. Mà bình phương của số lẻ luôn là số lẻ, nên a phải là số chẵn. Viết a bằng hai nhân c.
Thay vào, bốn c bình phương bằng hai b bình phương, rút gọn được b bình phương bằng hai c bình phương. Lập luận y như trên, b cũng phải là số chẵn.
Vậy a và b đều chẵn, cùng chia hết cho hai. Điều này trái với việc phân số đã rút gọn tới cùng. Giả sử dẫn tới vô lý, nên căn hai không phải là phân số. Bạn có để ý không, mình chưa hề cần biết căn hai bằng bao nhiêu.
Chỗ học sinh hay vấp trong chứng minh này
Chỗ vấp thứ nhất là bước từ a bình phương chẵn suy ra a chẵn. Nhiều em viết luôn mà không giải thích. Lý do là nếu a lẻ thì a bình phương lẻ, nên a bình phương chẵn buộc a chẵn. Câu này phải viết ra.
Chỗ vấp thứ hai là quên điều kiện rút gọn tới cùng. Không có điều kiện đó thì việc a và b cùng chẵn chẳng có gì vô lý cả, và chứng minh mất hết sức nặng.
Chỗ vấp thứ ba là nghĩ rằng máy tính cho ra một phẩy bốn một bốn hai là căn hai bằng phân số mười bốn nghìn một trăm bốn mươi hai phần mười nghìn. Thật ra đó chỉ là giá trị làm tròn. Bình phương con số đó lên không ra đúng hai.
Một mẹo kiểm tra: lập luận này có dùng được cho căn bậc hai của bốn không. Thử làm, bạn sẽ thấy nó gãy ở chỗ nào, và hiểu vì sao căn bốn bằng hai còn căn hai thì không gọn như vậy.
Người xưa tính căn hai gần đúng giỏi tới đâu?
Không viết được thành phân số không có nghĩa là không tính được. Có một tấm bảng đất sét của người Babylon cổ ghi giá trị gần đúng của căn hai, chính xác tới khoảng năm, sáu chữ số thập phân, đủ cho mọi nhu cầu xây dựng thời đó.
Một cách tính đơn giản bạn tự làm được: đoán một số, ví dụ một phẩy năm. Lấy hai chia cho số đó, được một phẩy ba ba. Trung bình cộng của hai số là khoảng một phẩy bốn một bảy. Lặp lại với số mới, sau vài vòng bạn đã có căn hai rất chính xác.
Ý tưởng ở đây là căn hai luôn nằm giữa số đoán và hai chia số đoán. Lấy trung bình là kẹp nó lại gần hơn, giống cách Archimedes kẹp pi.
Vô tỉ không có nghĩa là xa lạ hay khó dùng. Nó chỉ có nghĩa là không có phân số nào đúng tuyệt đối.
Căn hai nằm trên tờ giấy bạn in mỗi ngày
Khổ giấy A bốn mà bạn dùng ở văn phòng có tỉ lệ giữa cạnh dài và cạnh ngắn bằng căn hai. Đây không phải trùng hợp mà là thiết kế có chủ ý.
Gấp đôi một tờ giấy có tỉ lệ căn hai, bạn được tờ nhỏ hơn có đúng cùng tỉ lệ. Nhờ vậy, phóng to hay thu nhỏ từ A bốn sang A ba hay A năm, nội dung trang in giữ nguyên bố cục, không bị thừa lề.
Muốn tỉ lệ giữ nguyên khi gấp đôi thì cạnh dài chia cạnh ngắn phải bằng cạnh ngắn chia nửa cạnh dài. Giải điều kiện đó, tỉ lệ bình phương bằng hai. Chỉ có căn hai mới làm được.
Câu đố nhỏ: tờ A không, khổ gốc của cả hệ, có diện tích đúng một mét vuông. Vậy tờ A bốn có diện tích bằng mấy phần của một mét vuông.
Câu hỏi thường gặp
Số vô tỉ là gì?
Số vô tỉ là số không viết được dưới dạng phân số của hai số nguyên. Khi viết ra số thập phân, nó có vô số chữ số và không lặp lại theo chu kỳ nào. Căn bậc hai của hai và pi là hai ví dụ quen thuộc.
Căn bậc hai của mọi số tự nhiên đều vô tỉ sao?
Không. Căn bậc hai của một số tự nhiên là số vô tỉ khi số đó không phải là số chính phương. Căn bốn bằng hai, căn chín bằng ba là số nguyên, còn căn hai, căn ba, căn năm là số vô tỉ.
Học chứng minh căn hai vô tỉ ở lớp mấy?
Học sinh Việt Nam thường gặp chứng minh này ở lớp bảy hoặc lớp chín khi học số vô tỉ và căn bậc hai, tuỳ theo chương trình và sách đang dùng. Nó là ví dụ mẫu cho phương pháp phản chứng.
Chuyện Hippasus bị dìm xuống biển có thật không?
Không có bằng chứng chắc chắn. Câu chuyện được kể lại bởi các tác giả sống rất lâu sau đó, có nhiều dị bản, nên sử gia thường coi đây là truyền thuyết.
Vì sao giấy A bốn có tỉ lệ căn hai?
Vì với tỉ lệ này, cắt đôi tờ giấy theo cạnh dài sẽ được hai tờ nhỏ hơn có đúng cùng tỉ lệ. Nhờ đó cả hệ khổ giấy phóng to thu nhỏ qua lại mà không méo bố cục.
