George Pólya chia việc giải một bài toán thành bốn bước: hiểu đề, lập kế hoạch, thực hiện kế hoạch, và nhìn lại lời giải. Nghe đơn giản, nhưng học sinh thường nhảy thẳng vào bước ba, và gần như luôn bỏ qua bước bốn, trong khi chính bước nhìn lại mới biến một bài đã giải thành kinh nghiệm cho bài sau.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Ở tập thử trường hợp nhỏ, mình đã nhắc tên Pólya. Tập này mình đi trọn bốn bước của ông với một bài toán cụ thể, kèm những câu tự hỏi mà bạn có thể chép ra dán trên bàn học.
Bước một: hiểu đề cho thật kỹ
Bài mẫu thế này: một người muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật bằng bốn mươi mét lưới. Hỏi nên rào chiều dài và chiều rộng bao nhiêu để mảnh vườn rộng nhất.
Pólya khuyên hỏi ba câu. Cái gì chưa biết: chiều dài, chiều rộng làm diện tích lớn nhất. Cái gì đã biết: chu vi bốn mươi mét. Điều kiện là gì: hình chữ nhật, dùng hết lưới.
Thêm một câu nữa rất hữu ích: thử nói lại đề bằng lời của mình. Nếu nói lại được, nghĩa là mình đã hiểu. Ở đây: tổng chiều dài cộng chiều rộng là hai mươi mét, tìm cách chia hai mươi thành hai số để tích lớn nhất.
Rất nhiều bài sai không phải vì kém tính toán, mà vì hiểu đề lệch ngay từ đầu. Vẽ hình, gạch chân dữ kiện, ghi rõ đơn vị là những việc nhỏ cứu được cả bài.
Bước hai: lập kế hoạch
Đây là bước khó nhất và cần sáng tạo. Câu tự hỏi quan trọng nhất của Pólya: mình đã gặp bài nào giống bài này chưa, bài có cùng ẩn số hoặc cùng kiểu điều kiện.
Nếu chưa thấy hướng, thử trường hợp cụ thể. Chiều dài mười lăm, rộng năm, diện tích bảy mươi lăm. Dài mười hai, rộng tám, diện tích chín mươi sáu. Dài mười, rộng mười, diện tích một trăm. Dài chín, rộng mười một, lại về chín mươi chín.
Bảng số gợi ý rằng diện tích lớn nhất khi hai cạnh bằng nhau, tức hình vuông. Kế hoạch giờ là chứng minh điều đó cho mọi cách chia, không chỉ vài cách đã thử.
Những câu hỏi khác ở bước này: có thể giải một phần bài toán trước không, có thể bỏ bớt một điều kiện xem sao, có thể làm ngược từ đích về không.
Bước ba: thực hiện và kiểm từng bước
Gọi chiều dài là mười cộng một số nào đó, thì chiều rộng phải là mười trừ chính số đó, để tổng vẫn hai mươi. Diện tích là mười cộng số đó, nhân với mười trừ số đó, bằng một trăm trừ bình phương của số đó.
Bình phương của một số không bao giờ âm, nên diện tích không bao giờ vượt một trăm, và bằng một trăm đúng khi số đó bằng không, tức là hình vuông mười nhân mười.
Ở bước này, Pólya nhấn mạnh: kiểm từng bước khi đi. Hỏi mình có thấy rõ bước này đúng không, có chứng minh được không. Đừng để dành việc kiểm tới cuối.
Nếu đi giữa chừng thấy kế hoạch không chạy, quay lại bước hai là bình thường. Giải toán thật hiếm khi đi một đường thẳng.
Bước bốn: nhìn lại, bước bị bỏ quên
Có kết quả rồi, hầu hết học sinh gấp vở. Pólya thì nói đây mới là lúc học được nhiều nhất. Câu hỏi đầu tiên: kết quả có hợp lý không. Hình vuông mười nhân mười có chu vi đúng bốn mươi không. Có.
Câu thứ hai: có cách giải khác không. Ở đây có cách nhìn hình học: trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông là hình cân nhất. Hoặc dùng bất đẳng thức Cô-si mà mình sẽ nói ở chuyên mục thi học sinh giỏi.
Câu thứ ba, quan trọng nhất: mình có dùng kết quả hay phương pháp này cho bài khác được không. Nếu rào vườn sát bờ tường, chỉ cần rào ba cạnh thì sao. Cách đặt mười cộng một số, mười trừ số đó dùng được cho mọi bài tìm tích lớn nhất khi tổng cố định.
Chính câu hỏi thứ ba biến một bài đã giải thành một công cụ. Học sinh giỏi không phải người giải nhiều bài, mà là người rút được nhiều công cụ từ mỗi bài.
Biến bốn bước thành thói quen
Chép bốn câu ngắn dán trên bàn: mình chưa biết gì, đã biết gì. Đã gặp bài nào giống chưa. Bước này chắc đúng chưa. Dùng cho bài khác được không.
Với mỗi bài khó, dành vài phút sau khi giải để viết một dòng ghi chú: mẹo của bài này là gì. Sau một học kỳ, bạn có một cuốn sổ mẹo của chính mình, quý hơn mọi sách tham khảo.
Pólya cũng nói một câu đáng nhớ: nếu không giải được bài này, hãy tìm một bài dễ hơn liên quan mà bạn giải được. Đó không phải bỏ cuộc mà là lùi một bước để nhảy xa hơn.
Câu đố nhỏ cho bước bốn: bài rào vườn nhưng một cạnh đã có sẵn bờ tường, chỉ cần rào ba cạnh với bốn mươi mét lưới. Vườn rộng nhất khi các cạnh bằng bao nhiêu.
Câu hỏi thường gặp
Bốn bước giải toán của Pólya là gì?
Bốn bước là hiểu đề, lập kế hoạch, thực hiện kế hoạch và nhìn lại. Mỗi bước có những câu tự hỏi giúp người giải không bị kẹt và rút được kinh nghiệm sau mỗi bài.
Pólya viết cuốn sách nào về giải toán?
Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông về chủ đề này có tựa tiếng Anh là How to Solve It, xuất bản lần đầu năm một nghìn chín trăm bốn mươi lăm, đã được dịch ra nhiều thứ tiếng.
Vì sao bước nhìn lại quan trọng?
Vì đó là lúc kiểm tra kết quả, tìm cách giải khác và rút ra phương pháp dùng cho bài sau. Bỏ bước này, mỗi bài giải xong chỉ là một bài, không thành kinh nghiệm.
Gặp bài toán hoàn toàn lạ thì nên bắt đầu từ đâu?
Bắt đầu bằng việc viết rõ cái chưa biết và cái đã biết, vẽ hình nếu được, rồi thử vài trường hợp cụ thể. Hỏi mình đã gặp bài nào có cùng ẩn số chưa, đó thường là cánh cửa đầu tiên.
Học sinh tiểu học có dùng được bốn bước này không?
Được, ở dạng đơn giản: đọc kỹ đề và nói lại bằng lời của mình, nghĩ cách làm, làm, rồi kiểm lại xem kết quả có hợp lý không. Thói quen kiểm lại hình thành sớm rất có giá trị.
