Một cái bánh tròn có đường kính gấp đôi thì mặt bánh rộng gấp bốn lần, và nếu bánh cũng dày gấp đôi thì lượng bánh gấp tám lần. Lý do là diện tích tăng theo bình phương, còn thể tích tăng theo lập phương của kích thước. Trực giác của mình thường nghĩ gấp đôi là gấp đôi, nên hay đánh giá thấp những con số này.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Tập này bắt đầu từ một câu hỏi rất đời: gọi một cái bánh to hay hai cái bánh nhỏ thì được nhiều hơn. Rồi từ đó mình đi tới quả dưa hấu, viên đá trong ly trà đá, và vì sao con voi có đôi tai to như vậy.
Một bánh to hay hai bánh nhỏ?
Giả sử quán bán bánh tròn đường kính ba mươi phân và đường kính hai mươi phân, cùng độ dày. Gọi một cái ba mươi phân hay hai cái hai mươi phân thì được nhiều bánh hơn.
Diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phương đường kính. Ba mươi bình phương là chín trăm. Hai mươi bình phương là bốn trăm, hai cái là tám trăm. Vậy một cái bánh ba mươi phân nhiều hơn hai cái hai mươi phân, dù tổng đường kính hai cái nhỏ là bốn mươi phân.
Nhiều người chọn hai cái nhỏ vì trông nhiều hơn. Mắt nhìn đếm số cái, còn bụng thì đếm diện tích.
Khi so giá, đừng so theo cái, hãy so theo diện tích. Chia giá cho bình phương đường kính là ra một con số so được, bỏ qua được hằng số pi vì nó giống nhau ở mọi cái bánh.
Vì sao diện tích tăng theo bình phương?
Hãy nghĩ về một viên gạch vuông cạnh một gang tay. Ghép một viên gạch vuông cạnh gấp đôi, bạn cần hai hàng, mỗi hàng hai viên nhỏ, tổng là bốn viên. Cạnh gấp ba thì cần chín viên.
Điều này đúng với mọi hình, không chỉ hình vuông. Phóng to bất kỳ hình nào lên gấp đôi theo mọi chiều, diện tích gấp bốn. Phóng to gấp ba, diện tích gấp chín. Toán học gọi các hình như vậy là hình đồng dạng.
Thể tích thì thêm một chiều nữa. Một khối lập phương cạnh gấp đôi chứa được tám khối nhỏ: hai tầng, mỗi tầng bốn khối. Cạnh gấp ba thì hai mươi bảy khối.
Một quả dưa hấu đường kính gấp đôi quả nhỏ, cùng hình dáng, thì nặng gấp khoảng tám lần. Đó là lý do quả to giá nhảy vọt so với quả nhỏ.
Vỏ dưa và chuyện ăn quả to cho lợi
Vỏ của quả dưa là một lớp trên bề mặt. Giả sử vỏ dày như nhau ở quả to và quả nhỏ. Bề mặt quả to gấp bốn quả nhỏ, nên vỏ gấp bốn. Nhưng ruột thì gấp tám.
Vậy ở quả to, phần vỏ chiếm tỉ lệ ít hơn hẳn so với ruột. Mua quả to thường được nhiều ruột hơn tính trên mỗi ký, nếu chất lượng như nhau.
Cùng lý do đó, khoai tây củ to gọt vỏ ít hao hơn củ nhỏ. Người nội trợ có kinh nghiệm biết điều này mà không cần công thức.
Đây là một quy luật chung: khi một vật to lên, thể tích tăng nhanh hơn diện tích bề mặt. Tỉ số giữa bề mặt và thể tích nhỏ dần. Quy luật này giải thích rất nhiều điều trong tự nhiên.
Đá viên, bánh chưng và con voi
Bỏ một viên đá to và một nắm đá vụn có cùng khối lượng vào hai ly trà. Đá vụn tan nhanh hơn nhiều, vì tổng bề mặt tiếp xúc với nước lớn hơn hẳn. Muốn ly trà lạnh nhanh thì dùng đá nhỏ, muốn giữ đá lâu trong thùng thì dùng khối to.
Luộc bánh chưng cũng liên quan. Nhiệt phải đi từ ngoài vào tận tâm bánh. Bánh to hơn thì tâm xa bề mặt hơn, mà thời gian để nhiệt thấm vào tăng nhanh hơn khoảng cách, nên bánh to phải luộc lâu hơn nhiều chứ không chỉ lâu hơn một chút. Người gói bánh lâu năm đều biết bánh to phải canh lửa lâu hơn hẳn.
Trong tự nhiên, con vật nhỏ có bề mặt lớn so với thân, nên mất nhiệt rất nhanh. Chuột, chim nhỏ phải ăn liên tục để giữ ấm. Con voi thì ngược lại, thân khổng lồ sinh nhiều nhiệt mà bề mặt tương đối ít, nên đôi tai to là một cách tỏa bớt nhiệt.
Galileo từ thế kỷ mười bảy đã chỉ ra rằng không thể phóng to một con vật lên gấp nhiều lần mà giữ nguyên hình dạng xương. Trọng lượng tăng theo lập phương, còn sức chịu của xương chỉ tăng theo diện tích mặt cắt.
Áp dụng khi nấu ăn và mua sắm
Nhân đôi một công thức bánh và đổ vào khuôn đường kính lớn hơn, đừng nhân đôi đường kính khuôn. Để giữ nguyên độ dày, diện tích khuôn chỉ cần gấp đôi, tức đường kính tăng khoảng một phẩy bốn lần, đúng là căn bậc hai của hai.
Mua thảm, mua gạch, mua sơn, giá tính theo mét vuông. Một căn phòng dài và rộng gấp đôi phòng kia thì cần gấp bốn lần gạch, không phải gấp đôi.
Mua bể nước, thùng đá, giá trị nằm ở thể tích. Một thùng cao, rộng, dài đều gấp rưỡi thì chứa gấp hơn ba lần.
Câu đố nhỏ: một mô hình tượng cao hai mươi phân nặng nửa ký. Một bức tượng thật cùng chất liệu, cùng hình dáng, cao hai mét thì nặng khoảng bao nhiêu ký.
Câu hỏi thường gặp
Đường kính gấp đôi thì diện tích gấp mấy lần?
Diện tích gấp bốn lần, vì diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phương đường kính. Điều này đúng với mọi hình đồng dạng khi phóng to gấp đôi.
Một bánh ba mươi phân hay hai bánh hai mươi phân nhiều hơn?
Một bánh ba mươi phân nhiều hơn. Diện tích của nó tỉ lệ với chín trăm, còn hai bánh hai mươi phân chỉ tỉ lệ với tám trăm, nếu cùng độ dày.
Vì sao vật to thì thể tích tăng nhanh hơn diện tích?
Vì diện tích là tích của hai chiều, còn thể tích là tích của ba chiều. Khi mọi chiều cùng gấp lên một số lần, diện tích gấp bình phương số đó, còn thể tích gấp lập phương.
Vì sao đá viên nhỏ tan nhanh hơn?
Vì cùng một khối lượng đá, chia nhỏ ra thì tổng diện tích bề mặt tiếp xúc với nước lớn hơn, nhiệt truyền vào nhanh hơn. Một khối đá to có bề mặt nhỏ so với khối lượng nên tan chậm hơn.
Học về tỉ số diện tích hình đồng dạng ở lớp mấy?
Học sinh học tam giác đồng dạng và tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng ở lớp tám, lớp chín. Tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số đồng dạng thường gặp ở phần hình học không gian lớp chín trở lên.
