Thợ hồ căng một đoạn dây ba mét theo cạnh này, bốn mét theo cạnh kia, rồi chỉnh sao cho khoảng cách giữa hai đầu dây đúng năm mét, là có một góc vuông chuẩn. Lý do là ba bình phương cộng bốn bình phương bằng chín cộng mười sáu, đúng bằng hai mươi lăm, tức năm bình phương. Đây là định lý Pythagoras dùng theo chiều ngược, và nó có mặt trên công trình từ rất lâu trước khi có thước laser.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Ai từng xem đổ móng nhà ở quê chắc đã thấy cảnh mấy bác thợ căng dây, đóng cọc, đo đi đo lại. Tập này mình giải thích phép toán đằng sau động tác đó, và chỉ cho bạn cách tự kiểm căn phòng nhà mình có vuông không.
Định lý Pythagoras và định lý đảo
Định lý Pythagoras nói: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Học sinh lớp tám học nó, và hầu như ai cũng thuộc.
Thứ thợ hồ dùng thật ra là định lý đảo: nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì góc đối diện cạnh đó là góc vuông. Định lý đảo này cũng đúng, và chính nó cho phép tạo ra góc vuông chỉ bằng ba đoạn dây.
Thuận và đảo là hai câu khác nhau. Nhiều mệnh đề đúng mà đảo lại thì sai, ví dụ mọi hình vuông đều là hình chữ nhật, nhưng không phải hình chữ nhật nào cũng là hình vuông. Với Pythagoras, may mắn là cả hai chiều đều đúng.
Học sinh làm bài hình hay nhầm, dùng định lý thuận khi cần định lý đảo. Hỏi lại mình: đang biết góc vuông để tính cạnh, hay đang biết cạnh để chứng minh góc vuông.
Ngoài công trình, thợ làm thế nào?
Trên một khoảnh đất trống, thợ đóng một cọc ở góc nhà. Căng một dây theo hướng tường thứ nhất, đánh dấu điểm cách cọc ba mét. Căng dây thứ hai theo hướng tường thứ hai, ước chừng vuông góc, đánh dấu điểm cách cọc bốn mét.
Rồi đo khoảng cách giữa hai điểm đánh dấu. Nếu đúng năm mét, góc ở cọc là góc vuông. Nếu ngắn hơn năm mét, góc đang hẹp, phải mở dây thứ hai ra. Nếu dài hơn, góc đang rộng, phải khép lại.
Với nền nhà lớn, thợ dùng bộ số gấp đôi hay gấp ba: sáu, tám, mười mét, hoặc chín, mười hai, mười lăm mét. Tỉ lệ giữ nguyên nên vẫn ra góc vuông, mà dây dài hơn thì sai số tương đối nhỏ hơn.
Thợ lành nghề còn kiểm thêm một lần nữa ở góc đối diện, vì một góc vuông chưa đủ để cả nền vuông.
Kiểm cả căn phòng bằng hai đường chéo
Muốn biết một căn phòng, một khung cửa hay một nền nhà có vuông vức không, có cách còn nhanh hơn: đo hai đường chéo. Nếu hai cạnh đối diện đã bằng nhau từng cặp và hai đường chéo cũng bằng nhau, thì đó là hình chữ nhật, bốn góc đều vuông.
Nếu một đường chéo dài hơn đường kia, căn phòng đang bị xô lệch thành hình bình hành. Chênh lệch càng lớn, góc càng lệch. Thợ đóng tủ, thợ lát gạch đều kiểm theo cách này trước khi làm.
Bạn tự thử ở nhà với một cái thước dây. Đo hai đường chéo của sàn phòng ngủ. Lệch một hai phân trên căn phòng vài mét là chuyện bình thường. Lệch nhiều hơn thì khi lát gạch hay đóng tủ âm tường sẽ thấy rõ khe hở.
Cũng nhờ phép đo này mà bạn hiểu vì sao người lát gạch luôn bắt đầu từ một đường chuẩn vuông góc ở giữa phòng, thay vì bám theo một bức tường có thể không thẳng.
Bộ ba số Pythagoras và lịch sử của chúng
Những bộ ba số nguyên như ba, bốn, năm gọi là bộ ba Pythagoras. Còn nhiều bộ khác: năm, mười hai, mười ba. Tám, mười lăm, mười bảy. Bảy, hai mươi tư, hai mươi lăm. Bạn kiểm được ngay bằng cách bình phương lên.
Định lý mang tên Pythagoras, nhà triết học Hy Lạp thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên, nhưng người Babylon cổ đã biết những bộ ba số như vậy từ trước đó rất lâu. Có một tấm bảng đất sét của họ liệt kê những bộ ba số lớn, làm các nhà sử học tranh luận mãi về mục đích của nó.
Sách toán cổ Trung Hoa cũng có định lý này dưới tên gọi riêng. Có giai thoại kể về những người căng dây ở Ai Cập cổ đại dùng dây thắt nút để lấy góc vuông khi đo ruộng, nhưng bằng chứng cho chuyện đó còn được bàn cãi.
Điều chắc chắn là ở nhiều nền văn minh, người ta đã phát hiện ra quan hệ này độc lập với nhau, vì nhu cầu xây cất và đo ruộng là chung của loài người.
Pythagoras còn giúp gì trong nhà?
Mua ti vi, người ta nói màn hình bao nhiêu inch, đó là độ dài đường chéo. Muốn biết nó có vừa hốc tủ không, bạn cần chiều ngang và chiều cao, và Pythagoras là cầu nối giữa ba con số đó.
Đặt một cái thang dựa vào tường: chân thang cách tường bao xa, đầu thang chạm tường ở độ cao nào, liên hệ với nhau qua chiều dài thang theo đúng định lý này. Người làm thang nhôm khuyên đặt chân thang cách tường chừng một phần tư chiều cao cần với tới, để thang không quá dốc cũng không dễ trượt.
Khiêng một tấm ván dài qua cửa, đôi khi phải nghiêng chéo mới lọt. Đường chéo của khung cửa cho bạn biết tấm ván dài tối đa bao nhiêu thì qua được khi nghiêng trong mặt phẳng cửa.
Câu đố nhỏ: một mảnh sân hình chữ nhật dài mười hai mét, rộng năm mét. Bạn muốn căng dây chéo từ góc này sang góc kia để treo đèn. Cần sợi dây dài ít nhất bao nhiêu mét.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao ba bốn năm lại tạo ra góc vuông?
Vì ba bình phương cộng bốn bình phương bằng năm bình phương. Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác có ba cạnh như vậy là tam giác vuông, với góc vuông nằm giữa hai cạnh ba và bốn.
Kiểm tra căn phòng có vuông không bằng cách nào?
Đo hai đường chéo. Nếu các cạnh đối diện bằng nhau và hai đường chéo cũng bằng nhau thì các góc đều vuông. Nếu hai đường chéo lệch nhau, căn phòng đang bị xô lệch.
Bộ ba số Pythagoras là gì?
Đó là bộ ba số nguyên dương mà bình phương số lớn nhất bằng tổng bình phương hai số còn lại, như ba, bốn, năm hay năm, mười hai, mười ba. Có vô số bộ như vậy.
Định lý Pythagoras có phải do Pythagoras phát hiện?
Không hẳn. Người Babylon cổ và nhiều nền văn minh khác đã biết quan hệ này trước đó. Pythagoras hoặc trường phái của ông có thể là những người đầu tiên chứng minh nó theo cách Hy Lạp, nhưng chi tiết lịch sử không chắc chắn.
Dùng bộ sáu tám mười có tốt hơn ba bốn năm không?
Cùng tỉ lệ nên cùng ra góc vuông. Dùng dây dài hơn giúp sai số đo tương đối nhỏ hơn, nên với nền nhà lớn, thợ thường dùng các bộ số lớn hơn.
