Bốc thăm trước hay bốc sau đều có khả năng trúng như nhau, miễn là không ai mở thăm của mình ra cho người khác biết trước khi lượt bốc kết thúc. Người bốc trước được chọn trong nhiều lá hơn, còn người bốc sau được lợi ở chỗ lá trúng có thể vẫn chưa bị ai lấy, và hai điều đó bù trừ nhau vừa khít.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Từ chia ca trực Tết, chia phần đất trong họ, tới chia bảng đấu giải bóng xóm, người Việt mình bốc thăm rất nhiều. Và lần nào cũng có người giành bốc trước vì sợ lá trúng bị lấy mất. Tập này mình chứng minh nỗi lo đó là thừa, rồi chỉ ra lúc nào nó không thừa.
Đếm thử với năm lá thăm
Có năm lá thăm, một lá trúng, năm người lần lượt bốc, không ai mở ra cho tới khi bốc xong. Người thứ nhất bốc trúng với khả năng một phần năm. Điều này ai cũng đồng ý.
Người thứ hai trúng khi nào. Khi người thứ nhất không trúng, khả năng bốn phần năm, và trong bốn lá còn lại người thứ hai bốc trúng, khả năng một phần tư. Nhân lại, bốn phần năm nhân một phần tư bằng một phần năm.
Người thứ ba: hai người trước đều trượt, bốn phần năm nhân ba phần tư, rồi người thứ ba trúng trong ba lá còn lại, một phần ba. Nhân lại vẫn ra một phần năm. Bạn có thể tự làm tiếp cho người thứ tư, thứ năm, lần nào cũng ra một phần năm.
Phép tính cho thấy rõ hai lực kéo ngược chiều: người bốc sau phải mong người trước trượt, nhưng nếu họ trượt thì người sau chọn trong ít lá hơn. Hai thứ triệt tiêu hoàn toàn.
Một cách nhìn không cần tính
Có cách nhìn còn gọn hơn. Hãy tưởng tượng năm lá thăm được xáo kỹ rồi xếp thành hàng trước khi ai bốc. Người thứ nhất lấy lá ở vị trí một, người thứ hai lấy lá ở vị trí hai, và cứ thế.
Việc bốc lần lượt chẳng khác gì việc mỗi người được gán một vị trí trong hàng. Mà sau khi xáo kỹ, lá trúng có thể nằm ở bất kỳ vị trí nào với khả năng như nhau.
Vậy mỗi người, dù đứng ở vị trí nào, đều có một phần năm khả năng. Thứ tự bốc chỉ là thứ tự lật bài, không thay đổi bài đã chia.
Cách nhìn này rất mạnh vì nó dùng được cho cả những bài phức tạp hơn, ví dụ có hai lá trúng trong mười lá, hay chia ba giải nhất nhì ba. Hỏi xem lá mình cầm có gì khác lá người khác cầm không, câu trả lời là không.
Khi nào thứ tự bắt đầu có ý nghĩa?
Điều kiện quan trọng là không ai biết kết quả của người trước khi đến lượt mình. Nếu người thứ nhất mở thăm ra và trượt, thì người thứ hai lúc đó thật sự có khả năng một phần tư, cao hơn một phần năm. Nhưng nếu người thứ nhất trúng, người thứ hai hết cơ hội.
Tính trước khi bắt đầu, khả năng của người thứ hai vẫn là một phần năm. Thông tin mở ra giữa chừng chỉ làm khả năng của từng người dao động lên xuống, chứ không làm ai có lợi hơn từ đầu.
Thứ tự chỉ thật sự có ý nghĩa khi người bốc được quyền lựa chọn dựa trên thông tin. Ví dụ, nếu người bốc được phép bỏ lượt khi thấy người trước đã trúng, hoặc có người được nhìn lá trước khi bốc. Lúc đó trò chơi không còn là bốc thăm thuần tuý.
Còn một trường hợp nữa: lá thăm không được xáo kỹ, ví dụ lá trúng được gấp khác hay đặt ở trên cùng. Khi đó người biết mẹo sẽ chen lên đầu. Lỗi ở đây là ở cách tổ chức, không phải ở toán.
Tổ chức bốc thăm thế nào cho thật công bằng?
Lá thăm nên giống nhau hoàn toàn về giấy, kích thước, cách gấp. Lá trúng không nên có dấu hiệu nào sờ hay nhìn thấy được từ bên ngoài.
Xáo thật kỹ trong hộp kín, và nên để một người không tham gia bốc làm việc xáo. Ai bốc xong thì giữ nguyên lá trong tay, chờ mọi người bốc hết mới cùng mở.
Với những việc quan trọng như chia đất, chia tài sản, nên có người chứng kiến và ghi lại biên bản. Toán học bảo đảm công bằng cho thứ tự bốc, còn sự minh bạch của quy trình thì phải do con người bảo đảm.
Nếu nhóm vẫn có người không yên tâm, có thể để mọi người bốc cùng một lúc, mỗi người thò tay vào hộp lấy một lá, rồi cùng mở. Cách này không làm thay đổi xác suất nhưng làm mọi người thấy yên lòng, và đó cũng là một mục tiêu đáng kể.
Bài học rộng hơn về trực giác và thông tin
Nỗi sợ bốc sau đến từ một hình ảnh rất cụ thể: lá trúng đang nằm đó và người trước sẽ lấy mất nó. Trực giác chỉ thấy một kịch bản xấu, mà quên đi kịch bản người trước bốc trượt và mình được chọn trong ít lá hơn.
Đây là kiểu lỗi xuất hiện ở nhiều bài xác suất: mình nhìn một khả năng thật rõ mà bỏ quên các khả năng khác. Cách chữa là liệt kê đủ các trường hợp, hoặc tìm một cách nhìn đối xứng như cách xếp hàng ở trên.
Ngoài đời, bài học này giúp tránh tranh cãi vô ích. Giải thích ngắn gọn rằng ai cũng một phần năm như nhau thường đủ làm dịu không khí trước giờ bốc thăm.
Câu đố nhỏ: mười lá thăm có ba lá trúng. Người thứ bảy bốc trúng với khả năng bao nhiêu. Hãy thử dùng cách nhìn xếp hàng để trả lời trong một câu.
Câu hỏi thường gặp
Bốc thăm trước có lợi hơn không?
Không, nếu lá thăm được xáo kỹ và không ai biết kết quả của người trước khi đến lượt mình. Mọi người đều có cùng khả năng trúng, dù bốc ở vị trí nào.
Nếu người trước mở thăm ra thì sao?
Khi kết quả được mở dần, khả năng của người sau thay đổi tuỳ người trước trúng hay trượt. Nhưng tính từ lúc chưa ai bốc, khả năng của mỗi người vẫn như nhau.
Bốc thăm có hoàn lại và không hoàn lại khác nhau thế nào?
Bốc có hoàn lại là bốc xong bỏ lá trở lại hộp, mỗi lần bốc đều như lần đầu. Bốc không hoàn lại là giữ lá đã bốc, mỗi lần làm thay đổi những lá còn lại. Bốc thăm chia phần thường là không hoàn lại.
Chia bảng đấu bằng bốc thăm có công bằng không?
Về mặt toán học thì công bằng nếu quy trình xáo và bốc minh bạch. Các giải đấu thường có thêm những ràng buộc như hạt giống, khi đó việc bốc thăm theo các nhóm riêng nhưng trong mỗi nhóm vẫn công bằng.
Vì sao nhiều người vẫn tin bốc trước có lợi?
Vì trực giác tập trung vào cảnh lá trúng bị người khác lấy mất, mà quên rằng nếu người trước trượt thì mình chọn trong ít lá hơn. Hai điều này bù trừ nhau hoàn toàn.
