Có, không phẩy chín lặp lại mãi mãi bằng đúng một, không phải gần bằng hay xấp xỉ bằng. Đó chỉ là hai cách viết khác nhau của cùng một con số, giống như một nửa và hai phần tư là một. Câu hỏi này gây tranh cãi trên mạng nhiều tới mức nó xứng đáng có một tập riêng.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Nếu bạn thấy khó chịu với câu trả lời vừa rồi, bạn không cô đơn. Gần như ai nghe lần đầu cũng phản đối. Tập này mình đưa ra ba cách thuyết phục khác nhau, rồi chỉ ra vì sao trực giác lại cãi.
Cách thứ nhất: nhân ba lần một phần ba
Một phần ba viết ra số thập phân là không phẩy ba ba ba lặp lại mãi. Hầu như ai cũng chấp nhận điều này mà không cãi.
Nhân cả hai vế với ba. Bên trái, ba nhân một phần ba bằng một. Bên phải, ba nhân không phẩy ba ba ba lặp lại là không phẩy chín chín chín lặp lại.
Vậy nếu bạn tin một phần ba bằng không phẩy ba lặp lại, bạn phải tin một bằng không phẩy chín lặp lại. Hai điều này đứng hoặc ngã cùng nhau.
Có người nói không phẩy ba lặp lại cũng chỉ gần bằng một phần ba thôi. Nhưng nếu vậy thì một phần ba không viết được ra số thập phân, một điều mà ai học tiểu học cũng không chịu.
Cách thứ hai: nhân mười rồi trừ
Gọi con số không phẩy chín lặp lại là x. Nhân x với mười, dấu phẩy dịch sang phải một chỗ, ta được chín phẩy chín chín chín lặp lại.
Lấy mười x trừ đi x. Phần đuôi chín lặp lại vô hạn của hai số giống hệt nhau, nên triệt tiêu hoàn toàn, còn lại đúng chín. Vậy chín x bằng chín, nghĩa là x bằng một.
Đây cũng là cách thầy cô dạy để đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số. Ví dụ không phẩy một hai lặp lại nhóm một hai, nhân một trăm rồi trừ, ra mười hai phần chín mươi chín. Không phẩy chín lặp lại chỉ là một trường hợp của quy tắc chung đó.
Có người nghi ngờ bước trừ phần đuôi, cho rằng mười x có ít chữ số chín hơn một chữ. Với số chín lặp lại vô hạn, không có chữ số chín cuối cùng nào cả, nên cũng không có chuyện thiếu một chữ.
Cách thứ ba: không có số nào chen vào giữa
Hai số khác nhau trên trục số luôn có khoảng cách giữa chúng, và luôn có số nằm ở giữa, ví dụ trung bình cộng của chúng.
Thử tìm một số nằm giữa không phẩy chín lặp lại và một. Nó phải lớn hơn không phẩy chín chín chín ở mọi chữ số, mà lại nhỏ hơn một. Không có cách nào viết ra con số như vậy. Mọi vị trí sau dấu phẩy đã bị chiếm bởi số chín, không còn chỗ để lớn hơn.
Vậy khoảng cách giữa hai số bằng không. Hai số có khoảng cách bằng không thì là một số.
Cách này hay ở chỗ nó trả lời thẳng vào cảm giác lúc nào cũng còn thiếu một tí. Hỏi lại người đó: thiếu bao nhiêu. Họ sẽ không nói được con số nào, vì mọi con số dương bạn đưa ra đều lớn hơn phần thiếu.
Vì sao trực giác cứ phản đối?
Trực giác hiểu không phẩy chín lặp lại như một quá trình: đang viết thêm chữ số chín, đang tiến tới một mà chưa tới. Ở mỗi thời điểm của quá trình đó, số đang viết đúng là nhỏ hơn một.
Nhưng ký hiệu chín lặp lại mãi không chỉ một quá trình đang dở dang. Nó chỉ con số mà quá trình đó tiến tới, tức giới hạn. Đó chính là khái niệm mà mình đã gặp ở tập về Achilles và con rùa.
Achilles đuổi tới đâu cũng thấy rùa còn ở phía trước, nhưng anh vẫn bắt kịp ở đúng một điểm. Không phẩy chín, không phẩy chín chín, không phẩy chín chín chín cũng tiến tới một, và cả dãy vô hạn ấy có giá trị đúng bằng một.
Lỗi của trực giác không phải là ngốc, mà là đang hỏi một câu khác. Nó hỏi số đang viết có bằng một chưa, trong khi toán học hỏi con số cuối cùng mà việc viết ấy chỉ tới là gì.
Mọi số thập phân hữu hạn đều có hai cách viết
Điều này không riêng gì số một. Một nửa có thể viết là không phẩy năm, hoặc không phẩy bốn chín chín chín lặp lại. Hai phẩy ba bằng hai phẩy hai chín chín chín lặp lại.
Nghĩa là cách viết số thập phân có một chỗ thừa nho nhỏ: mọi số có đuôi hữu hạn đều có thêm một cách viết với đuôi chín. Đây không phải lỗi của toán học, mà là đặc điểm của cách ghi số theo hệ mười.
Biết điều này giúp học sinh khỏi ngạc nhiên khi đọc các chứng minh về số thực ở bậc đại học, nơi người ta thường quy ước tránh đuôi chín để mỗi số có đúng một cách viết.
Câu đố cho bạn: không phẩy một chín chín chín lặp lại bằng bao nhiêu, viết dưới dạng phân số. Thử dùng cả cách nhân mười rồi trừ và cách nhìn đuôi chín để kiểm lại cho nhau.
Câu hỏi thường gặp
Không phẩy chín lặp lại có phải chỉ gần bằng một không?
Không. Nó bằng đúng một. Gần bằng chỉ đúng với những số có hữu hạn chữ số chín, như không phẩy chín chín chín dừng ở ba chữ số. Khi chữ số chín lặp lại mãi mãi, con số đó bằng đúng một.
Vì sao toán học chấp nhận một số có hai cách viết?
Vì cách viết chỉ là cách ghi, còn con số là một. Giống như một nửa, hai phần tư và năm mươi phần trăm cùng chỉ một đại lượng. Số thập phân có đuôi chín chỉ là thêm một cách ghi.
Học về số thập phân vô hạn tuần hoàn ở lớp mấy?
Học sinh Việt Nam gặp số thập phân vô hạn tuần hoàn và cách đổi ra phân số ở lớp bảy. Câu hỏi không phẩy chín lặp lại là ví dụ rất tốt để kiểm tra mình đã hiểu chưa.
Máy tính hiện không phẩy chín lặp lại thế nào?
Máy tính chỉ lưu được hữu hạn chữ số nên thường làm tròn. Gõ một chia ba rồi nhân ba, nhiều máy hiện ra một, có máy hiện ra không phẩy chín chín chín. Đó là chuyện làm tròn của máy, không thay đổi sự thật toán học.
Có hệ thống số nào mà không phẩy chín lặp lại nhỏ hơn một không?
Trong hệ số thực mà trường học dạy thì không. Có những hệ số đặc biệt do các nhà toán học xây dựng, chứa các số nhỏ vô cùng, nhưng ngay cả trong đó, cách viết thập phân thông thường vẫn cho không phẩy chín lặp lại bằng một.
