Giả thuyết Collatz nói rằng bắt đầu từ bất kỳ số nguyên dương nào, nếu số chẵn thì chia đôi, nếu số lẻ thì nhân ba rồi cộng một, lặp lại mãi, thì cuối cùng bạn luôn về tới số một. Một em lớp bốn hiểu được luật chơi, máy tính đã kiểm tới những con số khổng lồ và lần nào cũng đúng, nhưng tới nay vẫn chưa ai chứng minh được.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đây là bài toán mình thích kể cho học sinh nhất, vì nó cho thấy một điều lạ của toán học: đặt câu hỏi dễ không có nghĩa là trả lời dễ. Bạn có thể lấy giấy bút ra chơi cùng.
Luật chơi và một ván thử với số sáu
Chọn số sáu. Sáu chẵn, chia đôi được ba. Ba lẻ, nhân ba cộng một được mười. Mười chẵn, chia đôi được năm. Năm lẻ, thành mười sáu. Rồi tám, bốn, hai, một.
Tới số một thì nếu chơi tiếp, một lẻ, nhân ba cộng một được bốn, rồi hai, rồi một. Vòng lặp nhỏ bốn, hai, một là nơi mọi dãy dừng chân. Câu hỏi là có số nào không bao giờ rơi vào vòng đó không.
Thử số bảy: bảy, hai mươi hai, mười một, ba mươi tư, mười bảy, năm mươi hai, hai mươi sáu, mười ba, bốn mươi, hai mươi, mười, năm, mười sáu, rồi về một. Dãy lên xuống thất thường như đường đi của hạt mưa đá trong mây, nên người ta còn gọi đây là dãy số mưa đá.
Bài toán gắn với tên nhà toán học Đức Lothar Collatz, người đưa nó ra vào những năm ba mươi của thế kỷ hai mươi.
Số hai mươi bảy và chuyến đi dài bất ngờ
Nếu bạn thử các số nhỏ, đa số về một khá nhanh. Rồi tới số hai mươi bảy, một số nhỏ hiền lành, bạn sẽ ngạc nhiên. Dãy của nó đi một trăm mười một bước mới về tới một.
Trên đường đi, nó vọt lên tới chín nghìn hai trăm ba mươi hai, gấp hơn ba trăm lần số xuất phát, rồi mới chịu rơi xuống. Trong khi số hai mươi sáu ngay cạnh chỉ cần mười bước.
Chính sự thất thường này làm bài toán khó. Không có quy luật rõ ràng nào cho biết một số sẽ đi bao xa, cao bao nhiêu. Hai số liền nhau có thể có số phận khác hẳn nhau.
Bạn có thể giao cho con hoặc học trò chạy thử số hai mươi bảy bằng tay. Mất chừng nửa tiếng, và đó là nửa tiếng luyện tính nhẩm vui nhất mà các em từng có.
Máy tính kiểm rất nhiều, sao vẫn chưa đủ?
Người ta đã dùng máy tính kiểm mọi số tới những giới hạn khổng lồ, dài hơn hai mươi chữ số, và chưa thấy số nào thoát. Nghe thì có vẻ quá đủ để tin.
Nhưng nhớ lại tập đầu tiên của chuỗi này: thấy đúng nhiều lần không phải chứng minh. So với vô số số tự nhiên, phần đã kiểm chỉ là một phần nhỏ xíu. Một số khổng lồ nào đó vẫn có thể bay lên mãi, hoặc rơi vào một vòng lặp khác.
Trong lịch sử toán học, đã có những phỏng đoán đúng với hàng tỉ trường hợp đầu rồi sai ở một con số khổng lồ. Nên các nhà toán học không dám gọi Collatz là định lý, chỉ dám gọi là giả thuyết.
Họ cần một lý lẽ cho thấy dãy luôn đi xuống, và đó là thứ chưa ai tìm ra.
Vì sao chứng minh lại khó đến vậy?
Hai phép biến đổi kéo con số theo hai hướng ngược nhau. Chia đôi làm số nhỏ đi một nửa. Nhân ba cộng một làm số to lên gấp ba. Nhưng sau khi nhân ba cộng một, kết quả luôn chẵn, nên chắc chắn bị chia đôi ít nhất một lần ngay sau đó.
Có một lập luận theo kiểu xác suất: nếu coi chẵn lẻ như tung đồng xu, thì trung bình số sẽ nhỏ đi theo thời gian. Lập luận này giải thích vì sao giả thuyết có vẻ đúng, nhưng nó không phải chứng minh, vì các con số không thật sự tung đồng xu.
Những năm gần đây có các kết quả cho thấy hầu hết các số, theo một nghĩa toán học chặt chẽ, đều đi xuống rất thấp. Nhưng hầu hết vẫn chưa phải tất cả, và khoảng cách đó là toàn bộ bài toán.
Một nhà toán học nổi tiếng thế kỷ hai mươi được kể là đã nói rằng toán học có lẽ chưa sẵn sàng cho những bài như thế này. Câu nói đó vẫn còn đúng tới hôm nay.
Một bài chưa giải dạy được gì cho học sinh?
Collatz là cửa sổ rất tốt để học sinh thấy toán học còn sống. Sách giáo khoa toàn bài đã có đáp án, nên nhiều em tưởng toán là thứ đã xong xuôi. Một bài mà chính các em cũng hiểu đề mà thế giới chưa giải được làm các em tò mò thật sự.
Nó cũng dạy cách phân biệt bằng chứng với chứng minh. Các em có thể tự lập bảng số bước cho các số từ một tới năm mươi, vẽ biểu đồ, nhìn quy luật, rồi tự hỏi mình đã chứng minh được gì chưa.
Có một lời khuyên chân thành cho người lớn: đừng khuyến khích học sinh dành hàng tháng trời để cố chứng minh Collatz. Nhiều nhà toán học chuyên nghiệp cũng tránh nó vì quá dễ sa lầy. Chơi để hiểu thì rất tốt, đặt cược tuổi trẻ vào đó thì không nên.
Câu đố nhỏ: hãy tìm số nhỏ hơn một trăm cần nhiều bước nhất để về tới một. Gợi ý, nó nằm rất gần số một trăm.
Câu hỏi thường gặp
Giả thuyết Collatz có giải thưởng không?
Đã có những khoản thưởng do cá nhân đặt ra cho lời giải, nhưng nó không nằm trong nhóm các bài toán thiên niên kỷ có giải thưởng lớn. Giá trị chính của nó là sự nổi tiếng và độ khó.
Nếu có số không về một thì sẽ ra sao?
Chỉ có hai khả năng: dãy của số đó tăng mãi lên vô hạn, hoặc rơi vào một vòng lặp khác ngoài vòng bốn, hai, một. Cho tới nay chưa ai tìm thấy ví dụ nào cho cả hai khả năng.
Học sinh có nên tập chứng minh giả thuyết Collatz?
Có thể chơi và chứng minh những điều nhỏ hơn, như mọi lũy thừa của hai đều về một rất nhanh. Còn cố chứng minh trọn vẹn thì không nên, vì các nhà toán học hàng đầu cũng chưa làm được.
Vì sao gọi là dãy số mưa đá?
Vì các con số lên xuống thất thường như hạt mưa đá bị gió đẩy lên cao rồi rơi xuống nhiều lần trong mây trước khi chạm đất. Cái tên chỉ là hình ảnh cho dễ nhớ.
Collatz có liên quan gì tới máy tính và lập trình không?
Đây là bài tập lập trình rất phổ biến cho người mới học, vì luật chơi đơn giản và dễ kiểm tra. Viết vài dòng lệnh là có thể in ra dãy của bất kỳ số nào và đếm số bước.
