Theo một giai thoại rất nổi tiếng, cậu bé Gauss tính tổng các số từ một đến một trăm chỉ trong chốc lát, bằng cách ghép số đầu với số cuối: một với một trăm, hai với chín mươi chín, mỗi cặp đều bằng một trăm lẻ một, có năm mươi cặp, ra năm nghìn không trăm năm mươi. Chi tiết câu chuyện có thể đã được người đời sau thêm thắt, nhưng cách nghĩ ấy là thật và học sinh nào cũng nên có.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Gauss là một trong những tên tuổi lớn nhất lịch sử toán học. Tập này mình kể câu chuyện quen thuộc nhất về ông, tách rõ phần nào là sử liệu, phần nào là giai thoại, rồi biến mẹo ghép cặp thành một công cụ bạn dùng được ngay.
Gauss là ai?
Carl Friedrich Gauss sinh năm một nghìn bảy trăm bảy mươi bảy ở Đức, trong một gia đình lao động bình thường, và mất năm một nghìn tám trăm năm mươi lăm. Ông để lại dấu ấn trong số học, đại số, hình học, thiên văn, đo đạc và cả điện từ học.
Khi chưa tròn mười chín tuổi, ông chứng minh có thể dựng đa giác đều mười bảy cạnh bằng thước và compa, điều người Hy Lạp không biết. Năm hai mươi tư tuổi, ông xuất bản một cuốn sách về số học đặt nền móng cho cả một ngành.
Người đời sau hay gọi ông là hoàng tử của các nhà toán học. Danh hiệu ấy nghe như phong tặng, nhưng thật ra chỉ là cách gọi trìu mến.
Với một người như vậy, giai thoại thời nhỏ dễ được kể lại và tô thêm. Câu chuyện tính tổng là một ví dụ.
Câu chuyện trong lớp học: phần nào chắc, phần nào thêm thắt?
Câu chuyện thường được kể thế này. Một hôm thầy giáo muốn lớp ngồi yên, bèn cho cả lớp cộng tất cả các số từ một tới một trăm. Thầy vừa ngồi xuống thì cậu bé Gauss đã đặt bảng lên bàn với một con số duy nhất, và đó là đáp án đúng.
Nguồn gốc câu chuyện là những gì người quen của Gauss ghi lại sau khi ông mất, dựa trên lời chính ông kể khi về già. Vậy có một hạt nhân thật: thời nhỏ ông đã làm thầy ngạc nhiên bằng một phép tính nhanh.
Còn chi tiết dãy số là từ một tới một trăm thì nhiều nhà nghiên cứu cho rằng chưa chắc. Có ý kiến cho rằng dãy thật có thể là một dãy số lớn và lẻ hơn. Con số một trăm có lẽ được chọn về sau vì gọn, dễ kể.
Nên khi kể cho học sinh, mình nói rõ đây là giai thoại. Điều đó không làm câu chuyện kém hay, mà dạy thêm cho các em một thói quen tốt: phân biệt chuyện kể với sử liệu.
Mẹo ghép cặp hoạt động thế nào?
Viết dãy từ một tới một trăm. Ngay dưới, viết dãy ấy theo chiều ngược lại, từ một trăm về một. Cộng từng cột: một cộng một trăm, hai cộng chín mươi chín, ba cộng chín mươi tám. Cột nào cũng bằng một trăm lẻ một.
Có một trăm cột, nên tổng của hai dãy là một trăm nhân một trăm lẻ một, bằng mười nghìn một trăm. Nhưng mình đã viết dãy hai lần, nên chia đôi: năm nghìn không trăm năm mươi.
Cách viết hai lần này hay hơn cách ghép năm mươi cặp ở chỗ nó không sợ số lẻ. Thử tính tổng từ một tới chín mươi chín, chỉ có chín mươi chín số, ghép cặp sẽ dư một số ở giữa. Còn cách viết hai lần thì vẫn chạy trơn tru.
Gói lại thành câu dễ nhớ: tổng một dãy cách đều bằng số đầu cộng số cuối, nhân với số số hạng, rồi chia đôi.
Dùng ngay cho những dãy khác
Tổng các số chẵn từ hai tới một trăm. Số đầu cộng số cuối là một trăm lẻ hai. Có năm mươi số. Một trăm lẻ hai nhân năm mươi, chia đôi, ra hai nghìn năm trăm năm mươi.
Tổng các số lẻ từ một tới chín mươi chín. Số đầu cộng số cuối là một trăm. Có năm mươi số. Một trăm nhân năm mươi chia đôi, ra hai nghìn năm trăm. Đúng bằng năm mươi bình phương, khớp với điều mình nói ở tập quy nạp.
Chỗ học sinh hay sai nhất là đếm số số hạng. Từ ba tới chín mươi bảy, cách nhau bốn đơn vị, có bao nhiêu số. Lấy số cuối trừ số đầu, chia cho khoảng cách, rồi cộng một. Chín mươi bảy trừ ba bằng chín mươi tư, chia bốn không chẵn, nghĩa là dãy đó thật ra không chứa chín mươi bảy. Một phép kiểm nhỏ cứu cả bài.
Quên cộng một là lỗi kinh điển, giống như đếm số cây trồng cách đều trên một đoạn đường mà quên cây ở đầu.
Điều đáng học từ Gauss không phải là tính nhanh
Nhiều phụ huynh kể chuyện Gauss để khuyến khích con tính nhanh. Nhưng điều đáng học không phải tốc độ. Cậu bé không cộng nhanh hơn bạn bè, cậu không cộng từng số chút nào. Cậu nhìn ra cấu trúc của dãy số.
Đó là khác biệt giữa làm nhiều và nghĩ khác. Một trăm phép cộng là con đường dài mà ai cũng thấy. Con đường ngắn chỉ hiện ra khi mình dừng lại hỏi: dãy này có gì đặc biệt.
Với học sinh, câu hỏi dãy này có gì đặc biệt nên thành phản xạ trước mỗi bài tính dài. Đôi khi câu trả lời là không có gì, và mình cứ làm. Nhưng thường thì có, và năm giây suy nghĩ tiết kiệm năm phút tính.
Câu đố nhỏ: tổng của tất cả các số có hai chữ số là bao nhiêu. Thử dùng cách của Gauss xem bạn mất bao lâu.
Câu hỏi thường gặp
Tổng từ một đến một trăm bằng bao nhiêu?
Tổng đó bằng năm nghìn không trăm năm mươi. Cách nhanh nhất là lấy một cộng một trăm, nhân với một trăm, rồi chia cho hai.
Câu chuyện Gauss tính tổng có thật không?
Có cơ sở từ lời kể của chính Gauss lúc về già, được người quen ghi lại sau khi ông mất. Nhưng các chi tiết như dãy số cụ thể hay phản ứng của thầy giáo có thể đã được thêm thắt, nên nên coi đây là giai thoại có hạt nhân thật.
Công thức tổng dãy số cách đều là gì?
Tổng bằng số đầu cộng số cuối, nhân với số số hạng, rồi chia cho hai. Số số hạng bằng số cuối trừ số đầu, chia cho khoảng cách, rồi cộng thêm một.
Gauss nổi tiếng nhất vì công trình nào?
Ông có quá nhiều công trình lớn để chọn một, nhưng cuốn sách về số học viết khi còn rất trẻ và việc phát triển phương pháp bình phương nhỏ nhất dùng trong đo đạc, thiên văn thường được nhắc tới đầu tiên. Đường cong hình chuông trong thống kê cũng thường mang tên ông.
Học sinh lớp mấy học tổng dãy số cách đều?
Học sinh thường gặp dạng này từ lớp năm, lớp sáu trong các bài tính nhanh, và học kỹ dưới tên cấp số cộng ở lớp mười một. Hiểu được cách viết dãy hai lần là đủ để không cần thuộc công thức.
