Archimedes tính số pi bằng cách kẹp hình tròn vào giữa hai đa giác đều chín mươi sáu cạnh, một đa giác nằm trong và một đa giác bao ngoài, rồi tính chu vi của chúng. Ông chứng minh được pi lớn hơn ba cộng mười phần bảy mươi mốt và nhỏ hơn ba cộng một phần bảy, tức là pi bằng ba phẩy mười bốn, chính xác tới hai chữ số thập phân, bằng lý lẽ chứ không bằng thước dây.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hơn hai nghìn năm trước, không có máy tính, không có cách viết số thập phân, Archimedes vẫn tính được pi chính xác hơn mọi người cùng thời. Tập này mình đi lại con đường của ông, và tách những giai thoại quanh ông ra khỏi những gì chắc chắn.
Đo pi bằng sợi dây có được không?
Cách ai cũng nghĩ ra đầu tiên là đo. Lấy cái mâm tròn, quấn sợi dây quanh vành, đo chiều dài dây, chia cho đường kính. Bạn sẽ được một con số quanh ba phẩy mười, ba phẩy mười lăm, tuỳ tay khéo.
Cách này cho một con số gần đúng, nhưng có hai giới hạn. Dây có độ dày, mâm không tròn tuyệt đối, mắt đọc thước có sai số. Và quan trọng hơn, đo bao nhiêu lần thì vẫn chỉ biết pi khoảng chừng đó, không biết sai bao nhiêu.
Người xưa ở nhiều nền văn minh đã dùng những giá trị gần đúng như ba, hay ba và một phần tám. Chúng đủ dùng cho xây dựng, nhưng không ai biết chắc nó lệch đến đâu.
Điều Archimedes mang lại là một con số đi kèm sự bảo đảm: pi chắc chắn nằm trong khoảng này, và có cách để thu hẹp khoảng đó bao nhiêu tuỳ thích.
Ý tưởng kẹp giữa hai đa giác
Vẽ một hình tròn. Vẽ một hình lục giác đều nằm trong, sáu đỉnh chạm vào đường tròn. Chu vi lục giác này bằng đúng sáu lần bán kính, tức ba lần đường kính. Vì đường thẳng là đường ngắn nhất, chu vi lục giác bên trong nhỏ hơn chu vi hình tròn. Vậy pi lớn hơn ba.
Giờ vẽ một lục giác đều bao bên ngoài, sáu cạnh tiếp xúc với đường tròn. Chu vi của nó lớn hơn chu vi hình tròn. Tính ra, mình được một chặn trên cho pi, khoảng ba phẩy bốn sáu.
Vậy pi bị kẹp giữa ba và ba phẩy bốn sáu. Khoảng này còn rộng, nhưng đây là một khẳng định chắc chắn chứ không phải phỏng đoán.
Muốn kẹp chặt hơn, Archimedes nhân đôi số cạnh: mười hai, hai mươi tư, bốn mươi tám, rồi chín mươi sáu. Đa giác càng nhiều cạnh càng ôm sát hình tròn, cả từ trong lẫn từ ngoài.
Tính toán cực khổ mà không có số thập phân
Cái khó là mỗi lần nhân đôi số cạnh, phải tính căn bậc hai. Archimedes không có cách viết số thập phân như mình, cũng không có máy tính. Ông dùng phân số và ước lượng căn bậc hai bằng những phân số gần đúng, luôn chọn sao cho kết quả vẫn nằm đúng phía.
Nghĩa là với đa giác bên trong, ông làm tròn sao cho chu vi tính ra hơi nhỏ hơn thật. Với đa giác bên ngoài, ông làm tròn sao cho hơi lớn hơn thật. Nhờ vậy khoảng kẹp của ông vẫn đúng, dù các con số có sai số.
Sau bốn lần nhân đôi, ông có kết quả: pi nằm giữa ba cộng mười phần bảy mươi mốt và ba cộng một phần bảy. Phân số hai mươi hai phần bảy mà học sinh hay dùng chính là chặn trên của Archimedes.
Cái tinh tế ở đây là sự thật thà với sai số. Ông không cố cho ra một con số đẹp, mà cho ra một khoảng chắc chắn đúng.
Vì sao cách làm này là một tư tưởng lớn?
Phương pháp của Archimedes chứa mầm mống của một ý tưởng sẽ phải đợi gần hai nghìn năm mới chín muồi: tiến tới một đại lượng bằng một dãy xấp xỉ ngày càng sát, từ hai phía. Đó là tinh thần của giới hạn và tích phân.
Ông dùng lối nghĩ tương tự để tính diện tích dưới một đường cong hình parabol, và thể tích hình cầu. Ông đặc biệt tự hào về kết quả thể tích hình cầu bằng hai phần ba thể tích hình trụ bao quanh nó.
Theo lời thuật lại của Cicero, nhà hùng biện La Mã, mộ của Archimedes có khắc hình quả cầu nằm trong hình trụ, đúng như ông mong muốn, và chính Cicero đã tìm lại ngôi mộ bị cỏ phủ.
Từ bài pi của Archimedes, người học có thể thấy một điều: con đường tới kết quả chính xác nhiều khi là một chuỗi kết quả gần đúng có kiểm soát.
Giai thoại và sự thật về Archimedes
Archimedes sống ở thành Syracuse trên đảo Sicily, khoảng thế kỷ thứ ba trước Công nguyên. Ông vừa là nhà toán học, vừa là kỹ sư, vừa nghiên cứu đòn bẩy và lực đẩy của nước.
Chuyện ông nhảy khỏi bồn tắm, chạy trên phố hô tìm ra rồi khi nghĩ cách kiểm vương miện vàng là do một tác giả La Mã kể lại khoảng hai thế kỷ sau. Nhiều người nghi chi tiết bồn tắm là thêm thắt. Nên kể nó như giai thoại.
Ông mất khi quân La Mã chiếm Syracuse. Câu nói được gán cho ông với người lính, đừng làm rối những hình tròn của ta, cũng là giai thoại, có nhiều dị bản.
Câu đố nhỏ cho bạn: với hình vuông nội tiếp và hình vuông ngoại tiếp một đường tròn, bạn sẽ kẹp được pi trong khoảng nào. Gợi ý, chu vi hình vuông ngoại tiếp bằng bốn lần đường kính.
Câu hỏi thường gặp
Pi bằng hai mươi hai phần bảy có đúng không?
Không đúng hẳn. Hai mươi hai phần bảy chỉ là một giá trị gần đúng, lớn hơn pi một chút, và chính là chặn trên mà Archimedes tìm ra. Nó đủ tốt cho nhiều bài tính đơn giản.
Archimedes đã dùng đa giác bao nhiêu cạnh?
Ông bắt đầu từ lục giác đều rồi nhân đôi số cạnh bốn lần, tới đa giác chín mươi sáu cạnh, cho cả đa giác nằm trong lẫn đa giác bao ngoài đường tròn.
Sau Archimedes, người ta tính pi chính xác hơn bằng cách nào?
Trong nhiều thế kỷ, người ta vẫn dùng đa giác với số cạnh ngày càng lớn. Về sau, các công thức tổng vô hạn và máy tính cho phép tính pi tới hàng nghìn tỉ chữ số, dù trong thực tế chỉ vài chục chữ số đã quá đủ cho mọi phép đo.
Chuyện Archimedes và vương miện vàng có thật không?
Câu chuyện do một tác giả La Mã kể lại khá lâu sau khi Archimedes mất, nên các chi tiết như bồn tắm và chạy ra phố được nhiều người coi là thêm thắt. Còn nguyên lý lực đẩy của nước thì Archimedes thật sự có nghiên cứu và viết thành sách.
Học sinh có thể tự làm lại cách tính của Archimedes không?
Có, với lục giác và hình mười hai cạnh là đủ để thấy pi bị kẹp dần. Học sinh lớp chín biết định lý Pythagoras và căn bậc hai đã có thể tự tính, dùng máy tính bỏ túi để đỡ vất vả.
