Bộ Cơ sở của Euclid, viết ở thành Alexandria khoảng ba trăm năm trước Công nguyên, là cuốn sách xây cả hình học từ một nhúm điều hiển nhiên gọi là tiên đề, rồi chứng minh từng điều một không bỏ bước nào. Nó được dùng làm sách dạy hình học suốt hơn hai nghìn năm, và chỉ một tiên đề trong đó đã làm người ta trăn trở lâu tới mức sinh ra cả một nền hình học mới.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hình học bạn học ở cấp hai, với đường thẳng, góc, tam giác bằng nhau, phần lớn vẫn đi theo khung của Euclid. Tập này mình kể về cuốn sách đó, và về đường song song, thứ tưởng hiển nhiên mà hoá ra không hề hiển nhiên.
Euclid là ai, mình biết gì về ông?
Thật lòng mà nói, mình biết rất ít về con người Euclid. Ông sống và dạy học ở Alexandria, một trung tâm học thuật lớn của thế giới Hy Lạp thời đó, khoảng ba trăm năm trước Công nguyên. Ngoài ra gần như không có tư liệu chắc chắn nào về đời tư.
Có một giai thoại kể rằng vua Ptolemy hỏi Euclid có cách nào học hình học nhanh hơn không, và ông đáp không có con đường riêng nào dành cho vua để tới hình học. Câu này do người đời sau thuật lại, nên coi là giai thoại.
Phần lớn kiến thức trong bộ Cơ sở không phải do Euclid phát hiện. Ông thu thập thành quả của nhiều thế hệ trước. Công lớn của ông là sắp xếp chúng thành một hệ thống, mỗi điều được chứng minh từ những điều đứng trước.
Bộ sách gồm mười ba quyển, bàn về hình học phẳng, tỉ lệ, số học và hình học không gian. Nó là một trong những cuốn sách được chép tay và in lại nhiều nhất trong lịch sử.
Xây cả hình học từ vài viên gạch
Cách làm của Euclid bây giờ gọi là phương pháp tiên đề. Ông bắt đầu bằng định nghĩa, như điểm là cái không có bộ phận. Rồi ông nêu năm tiên đề, những điều được thừa nhận mà không chứng minh, vì quá hiển nhiên.
Bốn tiên đề đầu thật sự ngắn gọn. Qua hai điểm luôn vẽ được một đường thẳng. Một đoạn thẳng kéo dài được mãi. Với một tâm và một bán kính luôn vẽ được đường tròn. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
Từ chừng ấy viên gạch và vài quy tắc suy luận, Euclid dựng lên hàng trăm định lý, trong đó có định lý về tổng ba góc tam giác và định lý Pythagoras. Mỗi định lý chỉ được dùng những gì đã chứng minh trước đó.
Cách xây này là khuôn mẫu cho toàn bộ toán học về sau. Khi thầy bắt bạn ghi rõ dựa vào định lý nào ở mỗi bước, đó là tinh thần của Euclid.
Tiên đề thứ năm: viên gạch bị nghi ngờ
Tiên đề thứ năm thì khác hẳn bốn tiên đề kia. Phát biểu gốc dài và rối, nhưng sách phổ thông thường dùng một dạng tương đương: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Nghe vẫn hiển nhiên. Nhưng các nhà toán học thấy nó dài dòng, giống một định lý hơn là một điều hiển nhiên. Họ ngờ rằng nó chứng minh được từ bốn tiên đề kia, và suốt nhiều thế kỷ, rất nhiều người đã thử.
Lần nào cũng vậy, chứng minh đưa ra hoá ra đã ngầm dùng một điều tương đương với chính tiên đề thứ năm. Như người cố nhấc mình lên bằng cách kéo dây giày.
Có người đi đường vòng: giả sử tiên đề thứ năm sai, rồi tìm điều vô lý. Họ tìm mãi mà không thấy vô lý, chỉ thấy những định lý rất lạ. Đó là dấu hiệu đầu tiên của một thế giới hình học khác.
Hình học phi Euclid ra đời
Vào thế kỷ mười chín, nhà toán học Nga Lobachevsky và nhà toán học Hungary Bolyai, độc lập với nhau, công bố một nền hình học trong đó qua một điểm có vô số đường thẳng không cắt đường thẳng cho trước. Hình học đó không mâu thuẫn chút nào. Gauss được biết là đã nghĩ tới điều tương tự nhưng không công bố.
Nghĩa là tiên đề thứ năm không chứng minh được từ bốn tiên đề kia. Nó là một lựa chọn. Chọn nó thì được hình học Euclid, chọn khác thì được những hình học khác, cũng chặt chẽ y như vậy.
Bạn có thể cảm nhận một hình học khác ngay trên quả địa cầu. Vẽ một tam giác có một đỉnh ở cực Bắc, hai đỉnh kia nằm trên xích đạo cách nhau một phần tư vòng. Cả ba góc đều vuông, tổng ba góc là hai trăm bảy mươi độ, vượt xa một trăm tám mươi.
Về sau, hình học không phẳng trở thành ngôn ngữ của thuyết tương đối rộng, nơi không gian bị uốn cong bởi vật chất. Một câu hỏi hai nghìn năm tuổi về đường song song hoá ra dẫn tới cách mô tả vũ trụ.
Euclid còn gì cho học sinh hôm nay?
Có người hỏi: đã có hình học hiện đại, học Euclid làm gì. Câu trả lời là thứ học sinh cần nhất từ Euclid không phải định lý nào cụ thể, mà là cách lập luận từng bước có căn cứ.
Một bài chứng minh hình học lớp tám là bài tập tốt nhất để học cách nói có sách mách có chứng. Mỗi khẳng định phải dựa trên một điều đã biết. Không được viết dễ thấy khi chưa giải thích được vì sao dễ thấy.
Lỗi hay gặp nhất là nhìn hình thấy hai đoạn bằng nhau rồi cứ thế dùng. Hình vẽ có thể đánh lừa, nhất là khi vẽ không chuẩn. Euclid dạy mình không tin hình vẽ, chỉ tin lý lẽ.
Câu đố nhỏ: trên quả địa cầu, có thể vẽ một tam giác mà tổng ba góc gần sát một trăm tám mươi độ không. Thử nghĩ xem tam giác đó phải to hay nhỏ.
Câu hỏi thường gặp
Bộ Cơ sở của Euclid gồm những gì?
Bộ sách gồm mười ba quyển, bàn về hình học phẳng, lý thuyết tỉ lệ, số học như số nguyên tố và ước chung lớn nhất, và hình học không gian với các khối đa diện đều. Thuật toán tìm ước chung lớn nhất mà học sinh học hôm nay vẫn mang tên Euclid.
Tiên đề khác định lý thế nào?
Tiên đề là điều được thừa nhận mà không chứng minh, làm điểm xuất phát. Định lý là điều được chứng minh từ tiên đề và các định lý trước đó. Một hệ thống toán học tốt cần ít tiên đề và các tiên đề không mâu thuẫn nhau.
Hình học phi Euclid có dùng ngoài đời không?
Có. Hình học trên mặt cầu được dùng khi tính đường bay và đường hàng hải trên Trái Đất. Hình học không gian cong là nền tảng của thuyết tương đối rộng, có ảnh hưởng tới cả độ chính xác của hệ thống định vị vệ tinh.
Vì sao gọi là đường thẳng trên mặt cầu?
Trên mặt cầu, đường ngắn nhất nối hai điểm là một cung của vòng tròn lớn, như đường xích đạo. Những cung này đóng vai trò đường thẳng trong hình học mặt cầu, và hai vòng tròn lớn bất kỳ luôn cắt nhau, nên không có đường song song.
Học sinh nên đọc Euclid bản gốc không?
Không cần thiết với học sinh phổ thông, vì cách trình bày cổ khá khó đọc. Đọc vài chứng minh đầu tiên qua một bản dịch có chú thích là đủ để cảm nhận cách lập luận, phần còn lại sách giáo khoa đã chuyển thể.
