Chứng minh toán học khác thấy đúng nhiều lần ở chỗ nó cho mình lý do vì sao điều đó luôn đúng, chứ không chỉ cho mình một danh sách những lần nó tình cờ đúng. Thử một trăm lần mà không gặp lần sai thì vẫn chỉ là một trăm lần, còn chứng minh thì phủ kín cả những trường hợp không ai kịp thử.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Tập này mình bắt đầu bằng một câu hỏi mà học trò nào cũng từng thắc mắc khi thầy bắt viết lời giải dài dòng: rõ ràng thấy đúng rồi, sao còn phải chứng minh. Mình sẽ kể hai câu chuyện mà quy luật đẹp đẽ gãy đúng lúc người ta tin nó nhất.
Vì sao thử đúng nhiều lần vẫn chưa đủ trong toán?
Ngoài đời, quán phở đầu ngõ ăn mười lần đều ngon thì lần thứ mười một mình yên tâm gọi. Cách tin đó hợp với chuyện ăn uống. Nhưng toán học muốn một thứ chắc hơn hẳn.
Một mệnh đề toán thường nói về vô số trường hợp: mọi số tự nhiên, mọi tam giác, mọi hình tròn. Dù bạn thử một triệu trường hợp thì so với vô số, một triệu vẫn chỉ là hạt cát. Phần chưa thử luôn lớn hơn phần đã thử, lớn hơn đến mức không so sánh nổi.
Thế nên nhà toán học không hỏi đã thử bao nhiêu lần. Họ hỏi có lý lẽ nào buộc điều này phải đúng không. Nếu có, thì một trường hợp mới dù to đến đâu cũng phải đi theo lý lẽ đó, không có cửa thoát.
Chính sự khó tính đó làm cho một định lý chứng minh từ hơn hai nghìn năm trước vẫn đúng y nguyên hôm nay.
Đa thức của Euler: bốn mươi lần đúng liền rồi sai
Câu chuyện thứ nhất là một công thức rất dễ nhẩm. Lấy một số tự nhiên, bình phương nó lên, cộng thêm chính nó, rồi cộng thêm bốn mươi mốt. Với số không, mình được bốn mươi mốt, là số nguyên tố, tức là số chỉ chia hết cho một và chính nó.
Thử số một, được bốn mươi ba, lại là số nguyên tố. Số hai cho bốn mươi bảy, số ba cho năm mươi ba, đều nguyên tố cả. Bạn có thể ngồi thử tiếp, và bạn sẽ thấy nó đúng liền một mạch từ số không đến số ba mươi chín. Bốn mươi lần đúng, không một lần trượt.
Công thức này gắn với tên Euler từ thế kỷ mười tám. Nhưng tới số bốn mươi thì sao. Bốn mươi bình phương là một nghìn sáu trăm, cộng bốn mươi, cộng bốn mươi mốt, ra một nghìn sáu trăm tám mươi mốt. Con số này bằng bốn mươi mốt nhân bốn mươi mốt.
Thực ra chẳng cần tính, chỉ cần nhìn là thấy. Khi số đem thử là bốn mươi mốt, cả ba phần cộng lại đều chia hết cho bốn mươi mốt, nên kết quả chắc chắn không thể là số nguyên tố. Một chút lý lẽ đã thấy trước điều mà bốn mươi lần thử không hề báo hiệu.
Bài chia hình tròn: dãy số quen mặt đánh lừa cả người giỏi
Câu chuyện thứ hai còn gian hơn. Bạn vẽ một hình tròn, chấm vài điểm trên đường viền, rồi nối mọi cặp điểm với nhau bằng đoạn thẳng. Câu hỏi là các đoạn thẳng ấy chia hình tròn ra tối đa bao nhiêu miền.
Một điểm thì chưa nối gì, hình tròn còn nguyên một miền. Hai điểm, một đoạn thẳng, thành hai miền. Ba điểm cho bốn miền, bốn điểm cho tám miền, năm điểm cho mười sáu miền. Một, hai, bốn, tám, mười sáu. Ai nhìn cũng nghĩ ngay mỗi lần thêm một điểm thì số miền nhân đôi.
Vậy sáu điểm phải là ba mươi hai miền. Bạn vẽ thật cẩn thận, chọn điểm sao cho không có ba đoạn nào cắt nhau tại cùng một chỗ, rồi đếm. Chỉ được ba mươi mốt. Không phải bạn vẽ thiếu, mà dãy số thật sự rẽ sang một hướng khác.
Năm số đầu trùng khớp với một quy luật quen thuộc, trong khi quy luật thật hoàn toàn khác. Dừng ở năm lần thử là mình tự tin viết ra một điều sai.
Một chứng minh thật trông như thế nào?
Để thấy chứng minh khác thử nghiệm ra sao, mình lấy một điều nhỏ: tổng của hai số lẻ bao giờ cũng là số chẵn. Thử thì dễ, ba cộng năm bằng tám, bảy cộng chín bằng mười sáu. Nhưng thử bao nhiêu cũng vẫn chỉ là thử.
Chứng minh thì đi đường khác. Số lẻ là số chẵn cộng thêm một. Vậy hai số lẻ là một số chẵn cộng một, và một số chẵn khác cộng một. Cộng lại, mình có hai số chẵn cộng với hai. Hai số chẵn cộng nhau ra số chẵn, cộng thêm hai vẫn là số chẵn. Xong.
Bạn để ý, lý lẽ này không cần biết hai số lẻ cụ thể là bao nhiêu. Nó đúng cho ba và năm, đúng cho một số lẻ dài cả trang giấy mà chưa ai viết ra. Đó là sức mạnh của chứng minh: nó nói về cấu trúc của vấn đề, không nói về từng ví dụ.
Chứng minh tốt nhất thường ngắn và đọc lên thấy hiển nhiên. Cái khó là nghĩ ra nó, không phải viết nó ra.
Vậy thử nghiệm có vô ích không?
Hoàn toàn không. Nhà toán học thử rất nhiều, nhất là ở giai đoạn đầu. Thử giúp họ đoán ra quy luật, thấy được hình dạng của vấn đề, và đôi khi bắt được một phản ví dụ, tức là một trường hợp làm mệnh đề sai, trước khi phí công đi chứng minh điều không đúng.
Thử nghiệm giống người đi rừng dò đường, còn chứng minh là con đường đã trải đá. Không dò thì không biết làm đường hướng nào, nhưng chưa trải đá thì chưa thể bảo người khác đi theo.
Một thói quen tốt cho học sinh là mỗi khi thấy một quy luật, hãy tự hỏi hai câu. Câu thứ nhất, mình đã thử đủ đa dạng chưa, có thử số lớn, số đặc biệt, trường hợp biên chưa. Câu thứ hai, mình có giải thích được vì sao nó đúng không. Trả lời được câu thứ hai mới yên.
Lần tới khi thấy một dãy số đẹp đẽ, bạn thử đoán xem nó có đang giấu một khúc rẽ như bài hình tròn không. Có khi khúc rẽ nằm ngay ở số tiếp theo mà mình lười thử.
Câu hỏi thường gặp
Phản ví dụ là gì trong toán học?
Phản ví dụ là một trường hợp cụ thể làm cho một mệnh đề tổng quát trở nên sai. Chỉ cần một phản ví dụ duy nhất là đủ bác bỏ một khẳng định nói về mọi trường hợp, dù trước đó nó đã đúng hàng nghìn lần.
Máy tính thử hàng tỉ trường hợp có được coi là chứng minh không?
Thường là không, nếu mệnh đề nói về vô số trường hợp. Máy tính chỉ giúp củng cố niềm tin hoặc tìm phản ví dụ. Có chứng minh dùng máy kiểm hết một số hữu hạn trường hợp, nhưng phải có lý lẽ cho thấy chừng ấy là đủ.
Học sinh lớp sáu, lớp bảy có nên tập chứng minh chưa?
Nên, bắt đầu từ những điều rất nhỏ như chẵn lẻ, chia hết. Mục tiêu không phải viết cho đúng mẫu, mà tập thói quen hỏi vì sao và giải thích bằng lời của mình. Thói quen đó có ích cho mọi môn chứ không riêng môn toán.
Vì sao sách giáo khoa hay ghi điều phải chứng minh?
Cụm từ đó đánh dấu chỗ một lập luận đã đi đến đích, tức là điều cần chỉ ra đã được chỉ ra. Nó giúp người đọc biết phần lý lẽ đã kết thúc, không còn bước nào bị bỏ lửng.
Có định lý nào từng được tin là đúng rồi sau đó bị bác bỏ không?
Trong lịch sử có những phỏng đoán được nhiều người tin, kiểm rất nhiều trường hợp, rồi sau đó có người tìm ra phản ví dụ ở những con số khổng lồ. Còn định lý đã có chứng minh đúng thì không bị bác bỏ, người ta chỉ phát hiện ra chứng minh cũ có lỗ hổng và phải sửa.
