Achilles chắc chắn đuổi kịp con rùa, vì vô số quãng đường ngày càng ngắn lại cộng vào nhau vẫn chỉ là một quãng đường hữu hạn, và anh chạy hết nó trong một khoảng thời gian hữu hạn. Cái khó của nghịch lý Zeno không phải ở đáp án, mà ở chỗ chỉ ra lập luận ngược lại sai ở đâu.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Nghịch lý này nghe xong ai cũng biết là sai, nhưng hỏi sai chỗ nào thì nhiều người ấp úng. Tập này mình đi từ câu chuyện cổ Hy Lạp tới một phép cộng mà học sinh lớp mười một sẽ gặp, để bạn có câu trả lời đàng hoàng khi ai đó đem nó ra đố.
Zeno kể câu chuyện gì?
Zeno là một triết gia Hy Lạp ở thành Elea, sống vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên. Các tác phẩm của ông không còn, mình biết về những nghịch lý của ông chủ yếu qua lời thuật lại của Aristotle.
Câu chuyện nổi tiếng nhất thế này. Achilles, người chạy nhanh nhất, chạy đua với một con rùa, và nhường rùa xuất phát trước một đoạn. Khi Achilles chạy tới chỗ rùa vừa đứng, rùa đã bò thêm một quãng. Khi anh tới chỗ đó, rùa lại nhích thêm chút nữa.
Cứ như vậy, mỗi lần Achilles tới được chỗ cũ của rùa thì rùa đã ở một chỗ mới. Số lần như thế là vô hạn. Vậy Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Ai cũng biết thực tế không như vậy, vì người chạy nhanh vượt người chạy chậm hằng ngày. Nhưng lập luận từng bước đều có vẻ đúng. Đó mới là chỗ khiến người ta khó chịu suốt nhiều thế kỷ.
Thử bằng con số cho cụ thể
Giả sử Achilles chạy nhanh gấp mười lần rùa, và rùa được đi trước một trăm mét. Achilles chạy một trăm mét, rùa đi thêm mười mét. Achilles chạy mười mét, rùa đi thêm một mét. Achilles chạy một mét, rùa thêm một phần mười mét.
Quãng đường Achilles chạy là một trăm, cộng mười, cộng một, cộng không phẩy một, cộng không phẩy không một, và cứ thế mãi. Viết ra thành số thập phân, mình được một trăm mười một phẩy một một một kéo dài vô tận.
Con số đó không vô hạn chút nào. Nó bằng đúng một nghìn chia chín, tức khoảng một trăm mười một mét. Đúng ở chỗ đó Achilles bắt kịp rùa, rồi vượt qua.
Kiểm lại bằng cách khác cho chắc: cứ mỗi mét Achilles chạy thì rùa bò được một phần mười mét, nên khoảng cách rút ngắn chín phần mười mét. Muốn xoá khoảng cách một trăm mét, anh phải chạy một trăm chia cho chín phần mười, tức một nghìn chia chín mét. Hai cách cho cùng một số.
Vô số phần cộng lại sao vẫn hữu hạn?
Đây là chỗ trực giác vấp. Mình quen nghĩ rằng cộng vô số thứ thì phải ra vô hạn. Điều đó đúng nếu các thứ đó không nhỏ dần đi, hoặc nhỏ dần quá chậm. Còn nếu chúng nhỏ đi đủ nhanh thì tổng dừng lại ở một con số.
Lấy một cái bánh. Ăn một nửa, rồi một nửa phần còn lại, rồi một nửa phần còn lại nữa. Bạn ăn vô số lần, nhưng tổng cộng không bao giờ quá một cái bánh. Một phần hai cộng một phần tư cộng một phần tám, cứ thế, tiến sát tới một.
Toán học diễn đạt điều này bằng khái niệm giới hạn: tổng của vô số số hạng là con số mà các tổng một phần tiến tới mãi mãi, gần bao nhiêu cũng được. Khái niệm này chỉ được làm cho thật chặt chẽ vào thế kỷ mười chín.
Học sinh lớp mười một gặp đúng điều này dưới tên cấp số nhân lùi vô hạn: khi mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với một số nhỏ hơn một, tổng vô hạn của chúng là một số hữu hạn có công thức hẳn hoi.
Thời gian cũng bị chia vô hạn lần
Có người cãi: được rồi, quãng đường hữu hạn, nhưng Achilles vẫn phải làm vô số việc, mà ai làm xong vô số việc được. Câu trả lời nằm ở thời gian.
Mỗi đoạn đường ngắn hơn thì cũng tốn ít thời gian hơn theo cùng tỉ lệ. Thời gian cho từng đoạn cũng là một tổng vô hạn nhỏ dần, cộng lại ra một khoảng hữu hạn. Achilles không phải dừng lại ở từng chặng, anh chạy liền một mạch.
Cách chia của Zeno chỉ là một cách cắt lát một chuyển động liền mạch thành vô số lát mỏng. Cắt bao nhiêu lát thì cái bánh vẫn chỉ là một cái bánh.
Phải nói cho công bằng, một số triết gia vẫn còn bàn về việc làm xong vô số bước có nghĩa là gì về mặt vật lý. Nhưng về mặt toán học, phép tính rất rõ ràng.
Zeno còn để lại những nghịch lý nào?
Nghịch lý phân đôi có cùng tinh thần: muốn đi tới cửa, bạn phải đi nửa đường trước, rồi nửa của phần còn lại, mãi mãi, vậy bạn không bao giờ tới cửa. Lời giải giống hệt chuyện cái bánh.
Nghịch lý mũi tên thì khác hơn: tại mỗi khoảnh khắc, mũi tên đang bay chiếm đúng một chỗ, tức là đứng yên ở đó, vậy nó luôn đứng yên. Câu trả lời đến sau này cùng với khái niệm vận tốc tức thời trong giải tích.
Điều đáng quý ở Zeno là ông chỉ ra chỗ trực giác của con người không đáng tin khi đụng tới vô hạn. Phải hơn hai nghìn năm sau, toán học mới có đủ công cụ để trả lời gọn gàng.
Câu đố cho bạn mang về: một quả bóng thả từ độ cao một mét, mỗi lần nảy lên chỉ cao bằng một nửa lần trước. Tổng quãng đường quả bóng đi được cho tới khi nằm yên là bao nhiêu mét.
Câu hỏi thường gặp
Nghịch lý Zeno đã được giải quyết hoàn toàn chưa?
Về mặt toán học thì đã có câu trả lời rõ ràng qua khái niệm giới hạn và tổng vô hạn. Về mặt triết học, vẫn có người bàn tiếp về bản chất của không gian, thời gian và việc chia nhỏ vô hạn trong thế giới thật.
Tổng một phần hai cộng một phần tư cộng một phần tám mãi mãi bằng bao nhiêu?
Tổng đó bằng đúng một. Mỗi lần cộng thêm, phần còn thiếu để đủ một lại giảm đi một nửa, nên tổng tiến sát tới một mà không bao giờ vượt qua.
Tổng vô hạn nào cũng hữu hạn sao?
Không. Tổng một cộng một phần hai cộng một phần ba cộng một phần tư, cứ thế, lớn mãi không có giới hạn, dù các số hạng nhỏ dần. Số hạng nhỏ dần là chưa đủ, chúng phải nhỏ dần đủ nhanh.
Học về tổng vô hạn ở lớp mấy?
Học sinh Việt Nam gặp cấp số nhân lùi vô hạn và khái niệm giới hạn của dãy số ở chương trình lớp mười một. Nhưng ý tưởng cái bánh chia đôi có thể kể cho học sinh nhỏ hơn rất nhiều.
Aristotle có phải người giải nghịch lý Zeno không?
Aristotle là người thuật lại và phản bác các nghịch lý này, ông phân biệt giữa vô hạn tiềm năng và vô hạn thực sự. Cách trả lời của ông có ảnh hưởng lâu dài, nhưng lời giải toán học như ngày nay dùng đến công cụ của thế kỷ mười chín.
