Chứng minh phản chứng là cách đi đường vòng: muốn chỉ ra một điều đúng, mình giả sử nó sai, rồi lần theo hệ quả cho tới khi gặp một điều vô lý. Vì giả sử sai dẫn tới vô lý, nên điều ban đầu phải đúng. Ví dụ đẹp nhất là chứng minh của Euclid rằng số nguyên tố không bao giờ hết.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Hôm nay mình kể về một lập luận hơn hai nghìn năm tuổi mà vẫn gọn gàng tới mức học sinh lớp tám nghe là hiểu. Nghe xong, bạn sẽ có trong tay một công cụ suy nghĩ dùng được cả khi cãi nhau ngoài đời.
Phản chứng giống chuyện thám tử loại trừ khả năng
Bạn thử hình dung một thám tử nghi ông chủ quán nói dối về giờ đóng cửa. Anh ta không cãi thẳng, mà bảo: giả sử ông nói thật, quán đóng lúc chín giờ, thì cái hoá đơn in lúc mười giờ kia từ đâu ra. Câu chuyện của ông chủ tự mâu thuẫn, nên nó không thể đúng.
Phản chứng trong toán làm y như vậy. Mình tạm chấp nhận điều ngược với điều cần chứng minh, rồi suy luận thật chặt từ đó. Nếu đến một lúc mình rút ra được hai điều chọi nhau, ví dụ một số vừa chẵn vừa lẻ, thì giả thiết tạm ấy phải bỏ.
Điều kiện quan trọng là mọi bước suy luận ở giữa phải đúng. Nếu có một bước ẩu, cái vô lý có thể đến từ bước ẩu đó, không phải từ giả thiết. Học sinh hay mất điểm ở đây.
Phản chứng đặc biệt hữu ích khi điều cần chứng minh nói về chuyện không tồn tại, như không có số lớn nhất, không viết được thành phân số. Chỉ ra cái không có là việc khó làm trực tiếp, nên đi đường vòng lại nhanh.
Số nguyên tố là gì, vì sao người ta quan tâm chúng hết hay không?
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn một, chỉ chia hết cho một và chính nó. Hai, ba, năm, bảy, mười một, mười ba là những số đầu tiên. Số chín không phải, vì chín chia hết cho ba.
Mọi số tự nhiên lớn hơn một đều phân tích được thành tích các số nguyên tố, và chỉ theo một cách nếu không kể thứ tự. Mười hai là hai nhân hai nhân ba. Vì thế người ta ví số nguyên tố như những viên gạch xây nên mọi số.
Càng đi xa, số nguyên tố càng thưa. Từ một tới một trăm có hai mươi lăm số nguyên tố, nhưng lên tới hàng triệu thì phải đi khá lâu mới gặp một số. Câu hỏi tự nhiên là đến một lúc nào đó chúng có cạn hẳn không.
Nếu chỉ thử, mình sẽ không bao giờ trả lời được. Tìm thêm một số nguyên tố to hơn chỉ cho biết chúng chưa hết ở chỗ đó. Phải có lý lẽ.
Lập luận của Euclid đi từng bước thế nào?
Trong bộ sách Cơ sở viết khoảng ba trăm năm trước Công nguyên, Euclid đưa ra một lập luận mà ngày nay thường được kể dưới dạng phản chứng như sau. Giả sử số nguyên tố có hữu hạn, tức là liệt kê được hết thành một danh sách.
Bây giờ nhân tất cả các số trong danh sách lại với nhau, rồi cộng thêm một. Gọi số mới này là số mới. Đem số mới chia cho bất kỳ số nguyên tố nào trong danh sách, mình luôn dư đúng một, vì phần tích chia hết còn phần cộng thêm một thì không.
Mà số mới lớn hơn một, nên nó phải có ít nhất một ước nguyên tố. Ước nguyên tố đó không thể nằm trong danh sách, vì chia cho số nào trong danh sách cũng dư một. Vậy có một số nguyên tố ngoài danh sách, trái với giả sử là danh sách đã đủ.
Giả sử dẫn tới vô lý, nên số nguyên tố không thể hữu hạn. Cả lập luận chỉ cần phép nhân, phép cộng và một chút kiên nhẫn. Cái hay là nó không cần biết số nguyên tố trông ra sao, chỉ cần biết chúng là gạch xây nên mọi số.
Hiểu lầm hay gặp: tích cộng một luôn là số nguyên tố
Nhiều người nghe xong lập luận lại nhớ thành: nhân các số nguyên tố đầu tiên rồi cộng một thì ra số nguyên tố. Thử vài lần thấy đúng thật. Hai cộng một bằng ba. Hai nhân ba cộng một bằng bảy. Hai nhân ba nhân năm cộng một bằng ba mươi mốt. Toàn số nguyên tố.
Nhưng đi thêm chút nữa thì gãy. Nhân sáu số nguyên tố đầu tiên, từ hai tới mười ba, mình được ba mươi nghìn không trăm ba mươi, cộng một thành ba mươi nghìn không trăm ba mươi mốt. Số này bằng năm mươi chín nhân năm trăm lẻ chín, không phải số nguyên tố.
Lập luận của Euclid không hề nói số mới là số nguyên tố. Nó chỉ nói số mới có một ước nguyên tố nằm ngoài danh sách. Ở ví dụ này, năm mươi chín và năm trăm lẻ chín đều không có trong danh sách từ hai tới mười ba, đúng như lập luận đòi hỏi.
Đây lại là bài học của tập trước: vài lần thử đúng dễ khiến mình nhớ sai một chứng minh. Đọc kỹ chứng minh nói chính xác điều gì là một kỹ năng riêng.
Tập dùng phản chứng trong học tập và ngoài đời
Muốn quen tay, bạn thử bài này: chứng minh rằng không có số tự nhiên lớn nhất. Giả sử có số lớn nhất, cộng thêm một vào nó, mình được một số lớn hơn, vô lý. Ngắn vậy thôi, nhưng đó là đủ khung của phản chứng.
Bài khó hơn một chút: trong một lớp ba mươi học sinh, chứng minh có ít nhất hai bạn sinh cùng tháng. Giả sử không có hai bạn nào cùng tháng, thì mỗi tháng có nhiều nhất một bạn, mười hai tháng chứa tối đa mười hai bạn, vô lý với ba mươi.
Ngoài đời, phản chứng giúp mình kiểm một lời khẳng định. Ai đó nói món này bán chạy nhất vì rẻ nhất. Thử giả sử đúng là rẻ thì bán chạy, vậy món rẻ hơn nữa ở quầy bên cạnh sao lại ế. Không cần cãi, chỉ cần lần theo hệ quả.
Câu đố nhỏ cho bạn mang về: dùng phản chứng, thử chứng minh trong năm số tự nhiên bất kỳ luôn có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho bốn.
Câu hỏi thường gặp
Phản chứng và phản ví dụ khác nhau thế nào?
Phản ví dụ là một trường hợp cụ thể dùng để bác bỏ một khẳng định chung. Phản chứng là một phương pháp chứng minh, giả sử điều ngược lại rồi dẫn tới vô lý. Một cái dùng để đánh đổ, một cái dùng để xây dựng.
Số nguyên tố lớn nhất đã biết là bao nhiêu?
Con số kỷ lục thay đổi theo thời gian vì người ta liên tục tìm ra số lớn hơn bằng máy tính, và số đó dài hàng chục triệu chữ số. Nhưng nhờ chứng minh của Euclid, mình biết chắc sẽ không bao giờ có số nguyên tố lớn nhất.
Số một có phải số nguyên tố không?
Không. Theo quy ước hiện nay, số nguyên tố phải lớn hơn một. Nếu coi một là số nguyên tố thì cách phân tích một số thành tích các số nguyên tố không còn duy nhất, vì có thể nhân thêm bao nhiêu số một cũng được.
Học phản chứng ở lớp mấy?
Học sinh thường gặp phản chứng chính thức ở cấp trung học cơ sở, qua các bài như chứng minh căn bậc hai của hai không phải số hữu tỉ. Nhưng tinh thần của nó có thể tập từ sớm qua câu hỏi giả sử điều này sai thì chuyện gì xảy ra.
Có phải chứng minh nào cũng nên làm bằng phản chứng không?
Không nên lạm dụng. Nhiều bài chứng minh trực tiếp ngắn và rõ hơn. Phản chứng hợp nhất khi điều cần chứng minh là một sự không tồn tại hoặc một sự không thể, vì những điều đó khó chỉ ra trực tiếp.
