Lượng giác dùng để tính những khoảng cách, chiều cao không đo trực tiếp được, để mô tả mọi thứ dao động lặp lại như âm thanh, dòng điện xoay chiều, sóng biển, và để xoay, di chuyển hình ảnh trong đồ hoạ máy tính. Kỹ sư trắc địa, kỹ sư điện, người làm âm thanh, người làm trò chơi điện tử đều dùng sin, cos hằng ngày, chỉ là máy tính làm phần bấm số.
Chào bạn, đây là Nhà Toán Học. Đây là tập cuối của chuỗi, và mình chọn đúng câu hỏi mà học sinh lớp mười, lớp mười một hay hỏi nhất. Mình đã hứa ở tập nghề dạy toán sẽ trả lời nó cho đàng hoàng.
Đo thứ không chạm tới được
Nhớ câu đố ở tập Lương Thế Vinh: làm sao biết cây cau cao bao nhiêu mà không trèo lên. Cách đơn giản nhất là so bóng. Còn cách tổng quát hơn: đứng cách gốc cây một khoảng đo được, ngắm lên ngọn cây, đo góc ngắm. Chiều cao bằng khoảng cách nhân với tang của góc đó.
Đó là lượng giác ở dạng nguyên thuỷ nhất: dùng góc và một cạnh đo được để tính cạnh không đo được. Nhà thiên văn Hy Lạp Hipparchus ở thế kỷ thứ hai trước Công nguyên được coi là người lập những bảng lượng giác đầu tiên, phục vụ việc tính vị trí các thiên thể.
Nghề trắc địa, tức đo đạc mặt đất, dùng ý này mỗi ngày. Đo ranh giới thửa đất, làm bản đồ, định vị móng cầu, đường hầm đều dựa trên việc đo góc và khoảng cách rồi tính ra phần còn lại.
Máy đo hiện đại tự tính, nhưng người kỹ sư phải hiểu phép tính để biết khi nào số liệu có vấn đề, ví dụ khi góc quá nhỏ làm sai số phóng to.
Sóng: âm thanh, dòng điện và nhạc
Hàm sin vẽ ra một đường lượn sóng đều đặn, lên rồi xuống, lặp lại mãi. Hễ thứ gì dao động đều, thứ đó có bóng dáng hàm sin: con lắc, dây đàn rung, sóng nước, nhiệt độ ngày đêm.
Dòng điện trong ổ cắm nhà bạn là dòng xoay chiều, đổi chiều đều đặn nhiều chục lần mỗi giây, và điện áp của nó vẽ ra đúng một đường hình sin. Kỹ sư điện tính toán mạng điện bằng lượng giác và những công cụ phát triển từ nó.
Âm thanh là dao động của không khí. Một nốt nhạc thuần là một hàm sin, còn tiếng đàn, tiếng hát thật là tổng của nhiều hàm sin với tần số khác nhau. Đầu thế kỷ mười chín, nhà toán học Pháp Fourier phát triển ý tưởng rằng rất nhiều tín hiệu lặp lại có thể tách thành tổng các sóng sin.
Ý tưởng đó nằm sau rất nhiều công nghệ âm thanh và hình ảnh: lọc tiếng ồn, nén nhạc để gửi qua mạng, phân tích nhịp tim. Người làm kỹ thuật âm thanh nói chuyện bằng tần số mỗi ngày.
Xoay hình trong trò chơi điện tử
Mỗi khi nhân vật trong trò chơi quay người, chiếc xe trên màn hình rẽ hướng, máy tính phải tính lại vị trí của hàng nghìn điểm. Phép xoay một điểm quanh một tâm dùng chính sin và cos của góc xoay.
Cụ thể, khi xoay một góc, toạ độ mới của một điểm được tính từ toạ độ cũ nhân với sin và cos của góc đó. Người làm đồ hoạ viết những phép tính này dưới dạng ma trận, nối lại với đại số tuyến tính ở tập trước.
Ánh sáng chiếu lên bề mặt sáng hay tối cũng tính bằng góc giữa tia sáng và mặt phẳng, qua hàm cos. Mặt hướng thẳng vào đèn thì sáng nhất, nghiêng dần thì tối dần.
Lập trình viên đồ hoạ và trò chơi không tính tay, nhưng phải hiểu những phép này để sửa lỗi khi hình bị méo, bị xoay sai chiều hay ánh sáng trông giả.
Vì sao học sinh thấy lượng giác khô khan?
Chương trình phổ thông dành nhiều thời gian cho biến đổi công thức lượng giác, và đó là phần dễ làm học sinh chán nhất. Học thuộc hàng chục công thức mà không thấy chúng dùng vào đâu.
Nhưng chính những biến đổi đó là thứ kỹ sư dùng khi rút gọn một bài toán thật trước khi đưa vào máy. Chúng giống như học đánh máy trước khi viết văn: nhàm, nhưng cần.
Cách học đỡ khô hơn là luôn gắn công thức với vòng tròn lượng giác. Sin là chiều cao, cos là chiều ngang của một điểm chạy trên vòng tròn bán kính một. Hầu hết các công thức đều nhìn ra được từ hình vẽ đó, như mình đã nói ở tập học thuộc hay hiểu.
Và nhớ rằng không phải ai cũng sẽ dùng lượng giác trong nghề. Nhưng ai học nó cũng được rèn khả năng biến đổi chặt chẽ, và có thêm một cánh cửa mở ra những nghề kể trên.
Khép lại chuỗi bài
Suốt sáu mươi tập, mình đi từ chứng minh và phản chứng, qua những bài toán nổi tiếng, những con người làm toán, những con số, xác suất, thống kê, toán trong chợ và trong nhà, tới cách học, cách thi và những nghề sống bằng toán.
Nếu phải chọn một điều để bạn mang theo, có lẽ là thói quen hỏi vì sao, và thói quen kiểm lại điều mình tin bằng một lý lẽ hay một phép thử nhỏ. Đó là cách nghĩ của toán học, và nó dùng được ở mọi nơi.
Cảm ơn bạn đã nghe Nhà Toán Học. Nếu có câu hỏi toán nào muốn mình kể trong những tập sau, hãy gửi về địa chỉ thư của chương trình.
Câu đố cuối cho bạn: đứng cách chân một toà nhà năm mươi mét, bạn ngắm lên đỉnh toà nhà dưới góc bốn mươi lăm độ. Toà nhà cao bao nhiêu, nếu mắt bạn cách mặt đất một mét rưỡi.
Câu hỏi thường gặp
Lượng giác dùng để làm gì ngoài đời?
Lượng giác dùng để đo khoảng cách và chiều cao gián tiếp, mô tả các dao động như âm thanh, dòng điện xoay chiều, sóng, và để xoay, chiếu sáng hình ảnh trong đồ hoạ máy tính. Nhiều nghề kỹ thuật dùng nó hằng ngày.
Nghề nào dùng lượng giác nhiều nhất?
Trắc địa và bản đồ, kỹ thuật điện, kỹ thuật âm thanh, xây dựng, hàng hải, thiên văn, lập trình đồ hoạ và trò chơi điện tử là những nghề dùng lượng giác thường xuyên.
Vì sao dòng điện xoay chiều có dạng hình sin?
Vì máy phát điện tạo ra điện bằng cách quay cuộn dây trong từ trường. Chuyển động quay đều tạo ra điện áp biến đổi theo hàm sin của góc quay, nên dòng điện lưới có dạng hình sin.
Có cách nào nhớ công thức lượng giác dễ hơn không?
Gắn mọi công thức với vòng tròn lượng giác bán kính một, nơi sin là tung độ và cos là hoành độ của một điểm. Nhiều công thức có thể nhìn ra hoặc dựng lại từ hình vẽ này.
Hipparchus là ai?
Hipparchus là nhà thiên văn học Hy Lạp sống ở thế kỷ thứ hai trước Công nguyên. Ông được coi là người lập những bảng lượng giác đầu tiên để tính toán vị trí thiên thể.
